Question

已知函数f(x)=Inx-a/x(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性（2）若f(x)在[1,e]上的最小值为3/2，

Answer 1

已知函数f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)
(1)当a=3时，
f(x)=-x²+3x-Inx
f '(x)=-2x+3-1/x
当x∈[1/2,2]时，f '(x)=-2x+3-1/x<=0
所以f(x)=-x²+3x-Inx 在[1/2,2]上递减
当x=1/2时，函数最大值为:f(1/2)=5/4+ln2
当x=2时，函数最小值为:f(2)=2-ln2

(2)当函数f(x)在(1/2,2)单调时，
f(x)=-x²+ax-Inx
f '(x)=-2x+a-1/x
当x∈(1/2,2)时,下面不等式恒成立
f '(x)=-2x+a-1/x >0 或f '(x)=-2x+a-1/x <0
a>2x+1/x 或a<2x+1/x

而 2x+1/x>=2(√2) 当且仅当2x=1/x x=(√2)/2∈(1/2,2)取等号
当x=1/2时 2x+1/x=3
当x=2时 2x+1/x=9/2
所以2x+1/x的最大值为9/2 最小值为2(√2)

故a>9/2或a<2(√2)

(3)函数f(x)既有极大值又有极小值
f(x)=-x²+ax-Inx(a∈R)
f ' (x)=-2x+a-1/x (a∈R)
令f ' (x)=-2x+a-1/x=0
则-2x²+ax-1=0
2x²-ax+1=0 只要有二个不等的实根就行了
△=a²-9>0
a>3或a<-3

Answer 2

当然是利用导函数了