一只a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<α<β<π(1)求|a|的值(2)求证:a+b与a-b互相垂直
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(1)a=(cosα,sinα)
a²=cos²α+sin²α=1 所以|a|=1
(2)a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
则a²=1,b²=1
(a+b)•(a-b)
=a²-b²=1-1=0
又0<α<β<π
由于cosx在0<x<π上是减函数
所以cosα≠cosβ即cosα-cosβ≠0
所以a-b不是零向量
sinα>0,sinβ>0所以sinα+sinβ≠0
所以a+b不是零向量
两个非零向量的数量积为0
所以a+b与a-b互相垂直
注:证两个向量垂直时,只证得数量积为0,还不够,必须说明两个都是非零向量,因为零向量没有垂直的定义!
a²=cos²α+sin²α=1 所以|a|=1
(2)a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
则a²=1,b²=1
(a+b)•(a-b)
=a²-b²=1-1=0
又0<α<β<π
由于cosx在0<x<π上是减函数
所以cosα≠cosβ即cosα-cosβ≠0
所以a-b不是零向量
sinα>0,sinβ>0所以sinα+sinβ≠0
所以a+b不是零向量
两个非零向量的数量积为0
所以a+b与a-b互相垂直
注:证两个向量垂直时,只证得数量积为0,还不够,必须说明两个都是非零向量,因为零向量没有垂直的定义!
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(1) |a|^2=cosa^2+sina^2 =1 又|a|>0
所以|a|=1
(2) 令c=a+b=(cosa+cosb,sina+sinb) , d=a-b=(cosa-cosb,sina-sinb)
c·d=cosa^2-cosb^2+sina^2-sinb^2
=sina^2+cosa^2 -(sinb^2+cosb^2)
=1-1
=0
由于c·d=0是c与d垂直的充要条件
因此 原命题得证
所以|a|=1
(2) 令c=a+b=(cosa+cosb,sina+sinb) , d=a-b=(cosa-cosb,sina-sinb)
c·d=cosa^2-cosb^2+sina^2-sinb^2
=sina^2+cosa^2 -(sinb^2+cosb^2)
=1-1
=0
由于c·d=0是c与d垂直的充要条件
因此 原命题得证
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|a|=√(cos^2a+sin^2a)=1,同理|b|=1
(a+b)(a-b)=a^2-b^2=1-1=0,所以a+b与a-b互相垂直。
(a+b)(a-b)=a^2-b^2=1-1=0,所以a+b与a-b互相垂直。
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|a|=√(cos^2α+sin^2α)=1
a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)
a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
(a+b)(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=0
因此a+b与a-b互相垂直
a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)
a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
(a+b)(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=0
因此a+b与a-b互相垂直
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