Question

根据数列的首项和递推公式，求通项公式。 1

1.a1=0,a(n+1)=an+(2n-1)(n∈N)
2.a1=1, a(n+1)=2an/an+2(n∈N)
3.a1=3,a(n+1)=3an-2(n∈N)
多谢~！

Answer 1

第1题
an-a(n-1)=2n-3
a(n-1)-a(n-2)=2n-5
……
a2-a1=1
以上式子累加：
an-a1=(n-1)^2 我对右边使用了等差数列求和公式。
把a1=0代入可得：an=(n-1)^2
第2题
你确定这个表达式没问题？2an/an不是等于2吗？
第3题
设a(n+1)+k=3(an+k)
将上面的式子变形可得：a(n+1)=3an+2k
将它与a(n+1)=3an-2一比较可知k=-1
于是a(n+1)-1=3(an-1)
[a(n+1)-1]/(an-1)=3
这是一个等比数列，其首项a1-1=2
因此通项公式为an-1=2*3^(n-1)
an=2*3^(n-1)+1

追问

谢谢！第二题是2an/（an+2），麻烦了！

追答

不好意思我看错了一个括号。
第二题：
a(n+1)=2an/(an+2)
两边同时取倒数
1/a(n+1)=(an+2)/(2an)
1/a(n+1)=1/2+1/an
令bn=1/an
则b(n+1)=1/2+bn
b(n+1)-bn=1/2
等差数列，其首项b1=1/a1=1，公差为1/2
故bn=1+(n-1)/2=(n+1)/2
所以an=2/(n+1)
其余两题你可以自己验算，反正我验算的结果是对的。

Answer 2

1、解：a2-a1=1
a3-a2=3
a4-a3=5
......
an-a（n-1）=2n-1
上边等式相加得：an-a1=1+3+5+....+（2n-1）=n²
所以：an=n²（n∈N，n≥2）

Answer 3

a2=a1+1
a3=a2+3
a4=a3+5
一次类推 a(n)=1+3+5+......+(2n-3) 第一题答案a(n)=n-1 楼主验算一下
第二题 a(n+1)=2a(n)/a(n)+2 1/a(n+1)=a(n)+2/2a(n)=1/2+1/a(n)
即 1/a(n+1)-1/a(n)=1/2 开始推
1/a2-1/a1=1/2
1/a3-1/a2=1/2
1/a4-1/a3=1/2
那么 左边相加 右边相加 得1/a(n)-1/a1=n-1/2 因为a1=1 所以1/a(n)=n+1/2
a(n)=2/(n+1) 楼主请验算
第三题
a(n+1)=3an-2
an=3a(n-1)-2 =3(3a(n-2)-2)-2=3(3(3a(n-3)-2)-2)-2
an=3²a(n-2)-(3¹+1)2=3³a(n-3)-(3²+3¹+1)*2=.....=3^(n-1)a1-2(3º+3¹+3²+3³+.....+3^(n-2))
因为a1=3 所以 an=3^(n-1)×3-(2×3º+2×3¹+2×3²+...+3^(n-2)) 后边变形 加一个3的º
an=3^(n-1)×3-(3×3º+2×3¹+....+3^(n-2))-1 因为3×3º=3¹ 向后加正好
an=3^(n-1)×3-3×3^(n-2)-1
所以 an=2×3^(n-1)-1

楼主给分把,三题都答了.

Answer 4

1.a(n+1)=an+(2n-1) n∈N*
an-a（n-1）=2n-3 ， n≥2 【此处的n≥2 要重视】
...
a3-a2=3
a2-a1=1
累加，an-a1=1+3+5+...+2n-3=（n-1）^2 ，n≥2
an=（n-1）^2, n≥2
当n=1时，a1=1 ，成立
所以an=（n-1）^2 ，n∈N*

2.a(n+1)=2an/（an+2 ）
1/a(n+1)=an+2/（2an）=1/2+ 1/an 【分子分母倒过来】
1/a(n+1) - 1/an=1/2
所以{1/an}是等差数列，d=2，首项为1
1/an= 1+（n-1）*2=2n-1 ， n∈N*
an= 1/（2n-1） ，n∈N*

3.待定系数法，a(n+1)+T=3(an+T) ,T=-1
a(n+1)-1=3(an-1)
所以{an -1} 是等比数列，q=3，首项为2
an-1=2*3^（n-1） ，n∈N*
an=2*3^（n-1）+1 ，n∈N*