Question

二重积分与定积分有哪些相同和不同之处?

Answer 1

二重积分是定积分概念的推广,因此,两者有许多相同之处．从定义上看,二重积分也表示为和式极限,该极限也是通过“分割、近似代替、求和、取极限”而得到的．因而,其结果是一个数,这个数只与被积函数 及积分区域 有关,而与 的分法和点 的取法无关．二重积分还与定积分有相似的几何意义及性质．
二重积分与定积分的不同之处是,定积分的被积函数是一元函数,积分区域是区间；而二重积分的被积函数是二元函数,积分区域是平面区域．在定积分定义中,用小区间的长度的最大者来刻画分割的精细程度；在二重积分的定义中,用小区域的最大直径来刻画分割的精细程度,而不用小区域的面积最大者来刻画,这是因为小区间 的长度 越小,窄矩形面积 与以 为底边,为曲边的窄曲边梯形面积的近似程度就越高．但在平面上,小区域的面积 越小,却不能保证小平顶柱体体积 与以此小区域为底面,为曲顶的小曲顶柱体体积的近似程度就越高．如小区域是非常窄的小长条,面积 虽小,但在其上任取一点 ,与对应的小曲顶柱体的体积差异可能会很大,而且随着长条变窄,变小,这种差异可能不会改变．此外,在定积分定义中,可正可负,因而定积分的下限可小于也可大于上限；而在二重积分定义中,表示面积,只能为正,因此,将其化为累次积分时,每个定积分的下限都必须小于上限．