Question

中值定理

Answer 1

从我研究的历年真题中不难看出，考研数学考试大纲（数学一、数学二、数学三）近五年没有任何变

化，这说明考研命题的规律依然延续往年的原则，不会出现偏题、怪题、超纲题目，仍然以考察基本概念、

基本理论和基本方法为主，所以按照海文老师给出的学习计划按部就班地放心复习，努力就一定会有更大

的收获，更好的成绩。

与中值相关的证明题是历年考研试题中的重点也是难点，得分率不高，考生对具体定理的条件结论能

看明白，但是做题的时候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具体的知识点和考题结合起来，不会归

纳其中的常考题型，这里我们万学教育海文考研的数学老师将要重点介绍与中值相关的证明题的处理手

法，以期起到举一反三的作用。根据我们的统计分析，微分中值定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日

定理考查频繁，而柯西中值定理考查相对较少，一般数学一、数学二更容易考查。首先，我们对比分析一

下它们的条件、结论与可命题角度。

先来看罗尔定理，罗尔定理的条件是闭区间上连续，开区间内可导，端点值相等，结论是至少存在一

点，使得，即导函数有零点，从结论上就可以看出来罗尔定理可以用来证明导函数有

零点。罗尔定理有三个可命题角度：1.证明：或者，2.证明：

，3.导函数零点个数的讨论。

再来看第二个重要的定理-拉格朗日中值定理，它的条件是闭区间上连续，开区间内可导，结论是至

少存在一点，使得。下拉格朗日中值定理也有三个可命题角度，1.含有端点

值中值等式的证明，2.不等式的证明（出现函数值之差），3.讨论函数有界性。

最后咱们简单地看一下柯西中值定理，条件是闭区间上连续，开区间内可导，,结论是至少

存在一点，使。柯西中值定理主要是用来证明含有中值的等式

。它与罗尔以及拉格朗日中值定理有一个很好区

分的特征——包含两个函数。

现在给大家讲了三个中值定理的条件、结论以及可命题的角度，那么考生们在做题过程中会遇到什么

样的困难呢？主要有三点，第一点：定理的选择。要证明一个含有中值的等式，到底是用罗尔定理？拉格

朗日中值定理？还是柯西？第二点：辅助函数的构造。我们在证明含有中值的等式时，往往需要构造辅助

函数，如何构造辅助函数也是一个难点。第三点：条件的验证。比如说要用罗尔定理证明导函数有零点，

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此时要保证函数在区间内有两点的函数值相同，这两点不一定是端点，如何找到这两点比较困难。

首先，定理的选择有赖于对定理的深入了解，我们前面的陈述已经是初露端倪。根据条件、结论的不

同以及问题的难易程度，我们推荐如下次序：对于结论中不含端点信息的题目，我们考虑罗尔定理，对于

结论中含有端点信息的题目，我们首先考虑用拉格朗日中值定理，先构造一个辅助函数试验一下，如果得

不到所需结果，再考虑用柯西中值定理（如果条件中明显出现两个不同函数，或者某个函数的导数非0，

则首选柯西中值定理）。对于较少考到的“双中值问题”（结论中出现两个中值），一般考虑用两次拉

格朗日中值定理或者柯西中值定理。

其次，辅助函数的构造有如下常用手段。1.观察联想法。我们可以通过观察所要证明等式的形式,看

它是否与我们常见的函数导数公式相似或相同，当两者相似或相同时,我们可以立即联想到导数公式左端括

号内的函数就是我们所要构造的辅助函数；当不相似的时候，我们考虑加个因子，变成相似。加的因

子多为指数函数和幂函数.这是几个常见的形式：

2.原函数法。当出现与等有关的等式时，我们把结论中的换成后，经过适当恒等变形

（通分、十字交叉相乘、移项等）使等式右端为0,通常等式左端即为所要构造的函数导函数。

在很多情况下，我们对等式左端进行积分就可以得到辅助函数，我们再验证辅助函数是否满足微分中

值定理的条件，这就是原函数法，也称积分构造法.。

3.K值法。当我们要证明含有或且含有端点的等式时，常可以把含有的式子设

为，通过恒等变形（通分、交叉相乘、移项等）使得等式的右端为零，把等式中右端点换成，等式

左端的式子即为辅助函数，这就是k值法。

早我看来，只要大家把握微分中值定理的条件、结论与常考题型，多做有代表性的相关习题，时常

回顾总结，一定能突破考研数学中的重难点。