2的a次方+2的b次方=2的(a+b)次方,2的a次方+2的b次方+2的c次方=2的(a+b+c)次方。求c的最大值
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设2的a次方 =x 2的b次方=y 2的c次方=z 则x,y,z>0
x+y=xy 则x=xy - y =y(x-1) >0 所以x>1 同理y>1 ,z>1
x+y=xy (1) x+y+z = xyz (2)
得z= xy/(xy-1)=(x+y) /(x+y-1) = 1+ 1 /(x+y-1)
由(1)可画出图形为 x=1,y=1为渐近线的双曲线(右半部分)
求z可先 x+y的最小值 则可作x+y=0 这条直线平移接近双曲线 ,切点即是要 求的点
设 x+y=k 与 x+y=xy 相交,delta = k^2-4k
所求的点,即 相切时delta=0 k=4,-4(舍,因为x,y>0)
则x+y=4 Zmax=4/(4-1) =4/3
x+y=xy 则x=xy - y =y(x-1) >0 所以x>1 同理y>1 ,z>1
x+y=xy (1) x+y+z = xyz (2)
得z= xy/(xy-1)=(x+y) /(x+y-1) = 1+ 1 /(x+y-1)
由(1)可画出图形为 x=1,y=1为渐近线的双曲线(右半部分)
求z可先 x+y的最小值 则可作x+y=0 这条直线平移接近双曲线 ,切点即是要 求的点
设 x+y=k 与 x+y=xy 相交,delta = k^2-4k
所求的点,即 相切时delta=0 k=4,-4(舍,因为x,y>0)
则x+y=4 Zmax=4/(4-1) =4/3
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