Question

求不定积分1/x+根号下1-x^2

Answer 1

令x＝sinu,则：u＝arcsinx,dx＝cosudu.
∴∫｛1/［x＋√（1－x^2）］｝dx
＝∫［1/（sinu＋cosu）］cosudu
＝∫［cosu/（sinu＋cosu）］du.
＝（√2/2）∫｛cosu/［（√2/2）sinu＋（√2/2）cosu］｝du
＝（√2/2）∫｛cos（u＋π/4－π/4）/［（sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）］｝d（u＋π/4）
＝（√2/2）∫｛［cos（u＋π/4）cos（π/4）＋sinusin（π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫｛［cos（u＋π/4）＋sin（u＋π/4）］/sin（u＋π/4）｝d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［cos（u＋π/4）/sin（u＋π/4）］d（u＋π/4）＋（1/2）∫d（u＋π/4）
＝（1/2）∫［1/sin（u＋π/4）］d［sin（u＋π/4）］＋（1/2）（u＋π/4）
＝（1/2）ln｜sin（u＋π/4）｜＋（1/2）u＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜sinucos（π/4）＋cosusin（π/4）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln［（√2/2）｜sinu＋cosu｜］＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln（√2/2）＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C
＝（1/2）arcsinx＋（1/2）ln｜x＋√（1－x^2）｜＋C