Question

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，

且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0,1）内
（1）求实数b的取值范围
（2）证明：函数F（x）=logˇbf（x）在区间（-1-c，1-c）是单调递增，并求实数c的取值范围
注第一问会了，算第二问就可以了，谢谢咯！

Answer 1

已知二次函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0， 且关于x的方程f（x）+x+b=0的两实数根分别在区间（-3，-2），（0,1）内（1）求实数b的取值范围（2）证明：函数F（x）=logˇbf（x）在区间（-1-c，1-c）是单调递增，并求实数c的取值范围
(1)解析：∵函数f（x）=x²+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0
∴f(1)=1+2b+c=0
x²+(2b+1)x+b+c=0
x1+x2=-(2b+1)
∵x1∈(-3,-2),x2∈(0,1)==>-3<-(2b+1)<-1==>1<2b+1<3==>0<b<1
(2)解析：由(1)知f(x)= x²+2bx+c= x²-(c+1)x+c，0<b<1
⊿=(c+1)^2-4c=(c-1)^2>0==>c≠1
F(x)=log(b,f(x))= log(b, x²-(c+1)x+c)
欲使F(x)单调增，则须使f(x)单调减，即x<(c+1)/2
欲使F(x)在区间（-1-c，1-c）单调增
则须使1-c<=(c+1)/2==>c>=1/3
∴c[1/3,1) U(1,+∞)

Answer 2

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