Question

O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，

动点P满足OP=OA+λ(向量AB/向量AB的模+向量AC+向量AC的模），λ属于[0，正无穷),则P的轨迹一定通过三角形ABC的 :A外心 B内心 C重心 D垂心 （要详细易懂的步骤和思路哦，谢啦）
注意：向量AC+向量AC的模改为向量AC/向量AC的模，刚刚一时粗心没看到

Answer 1

OP=OA+λ(向量AB/向量AB的模+向量AC+向量AC的模）
应该是OP=OA+λ(向量AB/向量AB的模+向量AC/向量AC的模） ！！！

解析：
由题意作单位向量AM＝向量AB/向量AB的模，单位向量AN＝向量AC/向量AC的模
易知向量AM，AN分别与向量AB，AC同向(即点M.N分别在线段AB.AC上)
则向量OP=向量OA+λ(向量AB/向量AB的模+向量AC/向量AC的模）可化为：
向量OP－向量OA=λ(向量AM+向量AN）
即向量AP=λ(向量AM+向量AN）
过点A在三角形ABC内作向量AD=向量AM+向量AN
因为模 |向量AM|=|向量AN|，且向量AM与向量AN的夹角就是向量AB与向量AC夹角为∠BAC
所以点D在向量AM与向量AN的夹角∠BAC的角平分线上
又向量AP=λ(向量AM+向量AN）＝λ向量AD，λ属于[0，正无穷)
则当λ>0时，向量AP与AD同向
这就是说点P在∠BAC的角平分线上运动
所以P的轨迹一定通过三角形ABC的三条角平分线的交点即内心

Answer 2

这个很简单的，只要你画个图就知道了。 

你首先要知道“向量AB/向量AB的模”和“向量AC/向量AC的模”是什么意思。 

向量AB/向量AB的模=沿着AB方向的单位向量 i  。

向量AC/向量AC的模=沿着AC方向的单位向量 j  。

那么

向量AB/向量AB的模+向量AC/向量AC的模=向量 i  +向量 j  

由于这两个是单位向量，故而长度都是1，因此根据四边形法则可知这个平行四边形是个菱形，故而这两个向量的和即向量AP就是角BAC的平分线（此时的 λ = 1），又根据λ的取值不同，P点可在角平分线所在直线上移动，而向量OA+向量AP=向量OP，因此P的轨迹就是角BAC角平分线所在的直线上，故而必然通过三角形的内心。