Question

设x≥0,y≥0且x+2y=1/2,求函数log1/2(8xy+4y²+1)的最大值与最小值

Answer 1

首先要确定Y的取值范围，
X=1/2-2Y，因为x≥0,所以1/2-2Y≥0，即 0≤Y≤1/4,
将X=1/2-2Y代入所求式中，有U=log1/2(-12y^2+4y+1)
则要求(-12y^2+4y+1)的最值，-12y^2+4y+1=-12(y-1/6)^2+4/3,
这是一个开口向下的抛物线，对称轴为Y=1/6，

由Y的取值范围可以得到(-12y^2+4y+1)的最小值为1此时Y=0，X=1/2，
所以函数u最大值为0

(-12y^2+4y+1)的最大值为4/3,此时Y=1/6，X=1/6，
所以函数u最小值为log1/2(4/3)=log2(3/4)=log2(3)-2.

Answer 2

由x+2y=1，得：
2y=1-x，
所以8xy+4y^2+1
=(2y)^2+4x*2y+1
=(1-x)^2+4x(1-x)+1
=-3x^2+2x+2
=-3(x-1/3)^2+7/3，
当x=1/3时，有最大值：7/3，
而y=log(1/2)x在定义域上是减函数，
所以当x=1/3，y=1/3时，
log以(1/2)为底 (8xy+4y^2+1)有最小值：log(1/2)7/3=log(2)3-log(2)7。