Question

求助：矩阵和的n次方解法

比如 （3E+B）^n = (3E)^n + n * (3E)^(n-1) * B
（E+B）^n = E^n + n * E^(n-1) * B + n(n-1)/2 * E^(n-2) * B^2
我怎么觉得只是乘以个3就差距这么大呢？
这个和的N次方有一定的公式吗？比如（A+B）的n次方？
谢谢！！

Answer 1

具体如下：

原式=(A+B)^n = C(n,0)A^n+C(n,1)A^(n-1)B+C(n,2)A^(n-2)B^2+...+C(n,n)B^n

矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（ n )，还可以求路径方案等，所以更是是一种应用性极强的算法。矩阵，是线性代数中的基本概念之一。

一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛。

Answer 2

你给的例子是有条件的, 第1个有B^2=0, 第2个是B^3=0

一般情况下, 当A,B可交换时,即AB=BA时
(A+B)^n = C(n,0)A^n+C(n,1)A^(n-1)B+C(n,2)A^(n-2)B^2+...+C(n,n)B^n
也就是说, 当A,B可交换时 (A+B)^n 可用二项式公式展开

你给的例子中 3E 和 E 都可与B交换, 所以可以用二项式展开.

在求矩阵的n次方的时候, 这是一种解决方法
这样处理的前提是:
1.和号的两项可交换
2.其中一项的n次幂容易计算
3.另一项的低次幂等于0矩阵
满足这几个条件后,就能用二项式公式展开 (1保证), 且展开后非零项很少(3) 且容易计算(2).

例如: 求C的n次幂
C=
2 4
0 2
= 2E+B
其中 B =
0 4
0 0

因为 (2E)B = B(2E), B^2=0 --可交换, 低次幂为0
所以 C^n
= (2E+B)^n = (2E)^n+n(2E)^(n-1)B
= 2^nE+n2^(n-1)B
=
2^n 2n2^n
0 2^n