Question

已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在X轴的正半轴上

已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在X轴的正半轴上，若抛物线上一动点P到A（2，3/2）、F两点距离之和的最小值为4.

1）求抛物线C的方程；
已经求得是y^2=8x.

2）若L0是过点A且垂直于x轴的直线，是否存在直线l，使得l与抛物线C交于两个不同的点M、N，MN恰被L0平分？若存在，求出l的倾斜角θ的角；若不存在，请说明理由。

只要做第二步即可。

Answer 1

解：1.取抛物线的准线 x = -p/2.
抛物线上一动点P到（2，3/2）、F两点距离之和的最小值为4.
即点 A 到准线的距离为4.
所以，p/2+2=4
所以，p=4
由抛物线标准方程 y^2=2px,得到 y^2=8x.

2.设M(x1,y1),N(x2,y2).
先讨论斜率不存在时，两直线重合，舍去。
有斜率时，tanθ=(y1-y2)/(x1-x2).
y1^2=8x1 , y2^2=8x2.
所以，y1^2-y2^2=(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
根据题目，可以得到 x1+x2=4 , y1+y2=3.
代入上式，得到：3(y1-y2)=8(x1-x2).
所以，tanθ=8/3.
答：存在，且θ=arctan8/3.