Question

鬼谷子考徒弟问题。如果是2到50，答案是什么。以下是本人解，有错吗？

Problem :
一天鬼出了这道题目：他从2到50中选出两个不同的整数，把积告诉孙，把和告诉庞；
庞说：我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么。
孙说：我本来的确不知道，但是听你这么一说，我现在能够确定这两个数字了。
庞说：既然你这么说，我现在也知道这两个数字是什么了。

My Ans:
由第一句话：
因为甲不知道，所以5≤a + b≤97
因为甲肯定乙不知道，所以两个数的和一定是奇数。因为如果这两个数的和为偶数，由哥德巴赫猜想在2~50成立，所以一定可以分为两个素数的和。如果是两个素数，则乙在知道它们的乘积之后可以得出这两个数的和。另外，两个数的和一定不是2加上一个素数(原因之前已给出)。
因为和是奇数，所以一定可以写成2和一个奇合数的形式。
所以X=2+9 or 2+15 or 2+21 or ……. or 2+45 即X=11,17,23,27,29,35,37,41,47

由第二句话：
说明将这两个数的积写成约数乘积的形式。
Y=a1×b1=a2×b2=……（不妨设ai≤bi）其中和是奇数的只有一组解。说明：在所有的约数中（除了1）只有一个奇数，而且是素数。即Y可表示为2m×n（其中m,n∈Z+，m≥2，n为素数）。不妨设2整除b，则a=n,b=2m，所以X=2m + n。
其中a=3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
b=4,8,16,32
(a≤50 ，b≤50)

由第三句话：
得到这个和只有唯一的a和b能表示。由两句话的分析，得到
11=4+7=8+3
23=4+19=16+7
27=4+23=8+19
35=4+31=16+19
37=8+29=32+5
47=4+43=16+31
剩下17，29，41。
4+13=17 4×13=52
16+13=29 16×13=178
4+37=41 4×37=148

即（4,13） （13,16） （4,37）

Answer 1

1、庞涓通过两数和可以肯定只知道两数积的孙膑不知道这两个数，可以得出以下几个推论：
(A)：庞涓手上的数字是5-197之间的数字。（排除最大和最小）
(B)：庞涓手上的数字和不能为两个素数的和，否则就不能确信孙膑不知道。如20 = 3 + 17，那么当孙膑拿到51时，就能确定两个数为3，17，因为只有3*17一种分解。而对于大于4的任意偶数都可以分解为两个素数的和，可知庞涓手上的数不是偶数。
(C)：庞涓手上的奇数不是某一个素数与2的和，如15=13+2，那么孙膑拿到26时，就能确定两数为2，13啦，因为只有2与13一种分解。
(D)：庞涓手上的奇数不能大于53，因为大于53的奇数总能分解成偶数与53的和，而该偶数与53的乘积在100内的分解是唯一的。如61=53+8，孙膑拿到424就能确定两数啦，因为如果分解为106*4时，106就超过了100。
至此，满足上述条件的数只剩下：11，17，23，27，29，35，37，47，51，53。一共10个。
2.孙膑知道两数的积，本来不知道两数，但现在知道啦。这说明孙膑手上的积分解因式的所有组合只能是上述10个数的一个。通过这句话，我们只能得出一组可能的分解。如17可以分解成13+4或是14+3或是11+6等等，当孙膑拿到42时，可以分解成42=14*3=6*6=2*21，而14+3=17，2+21=23都是上面10个候选解中的数字，可知17不能分解为14+3，同理，可以得出上述10个数的可能分解：
11的可能的分解：(4,7),(3,8),(2,9),
17的可能的分解：(4,13),
23的可能的分解：(10,13),(7,16),(4,19),
27的可能的分解：(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25),
29的可能的分解：(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27),
35的可能的分解：(17,18),(16,19),(14,21),(12,23),(10,25),(9,26),(8,27),(6,29),(4,31),(3,32),
37的可能的分解：(17,20),(16,21),(10,27),(9,28),(8,29),(6,31),(5,32),
41的可能的分解：(19,22),(18,23),(17,24),(16,25),(15,26),(14,27),(13,28),(12,29),(10,31),
(9,32),(7,34),(4,37),(3,38),
47的可能的分解：(23,24),(22,25),(20,27),(19,28),(18,29),(17,30),(16,31),(15,32),(13,34),
(10,37),(7,40),(6,41),(4,43),
53的可能的分解：(26,27),(25,28),(24,29),(23,30),(22,31),(21,32),(20,33),(19,34),(18,35),
(17,36),(16,37),(15,38),(13,40),(12,41),(10,43),(8,45),(6,47),(5,48),
3.庞涓知道两数的和，当孙膑说知道两数的时候，庞涓也知道两数啦，那么庞涓手上的数字，只能有一个可能的分解，而上面的分解中只有17有唯一的分解。
本题的答案为：4和13.

追问

恩 我说 2到50呢? 好像情况有变化啊

追答

1、庞涓通过两数和可以肯定只知道两数积的孙膑不知道这两个数，可以得出以下几个推论：
(A)：庞涓手上的数字是6-98之间的数字。（排除最大和最小）
(B)：庞涓手上的数字和不能为两个素数的和，否则就不能确信孙膑不知道。如20 = 3 + 17，那么当孙膑拿到51时，就能确定两个数为3，17，因为只有3*17一种分解。而对于大于4的任意偶数都可以分解为两个素数的和，可知庞涓手上的数不是偶数。
(C)：庞涓手上的奇数不是某一个素数与2的和，如15=13+2，那么孙膑拿到26时，就能确定两数为2，13啦，因为只有2与13一种分解。
(D)：庞涓手上的奇数不能大于29，因为大于29的奇数总能分解成偶数与29的和，而该偶数与29的乘积在50内的分解是唯一的。如37=29+8，孙膑拿到232就能确定两数啦，因为如果分解为58*4时，58就超过了50。
至此，满足上述条件的数只剩下：11，17，23，27，29。一共5个。
2.孙膑知道两数的积，本来不知道两数，但现在知道啦。这说明孙膑手上的积分解因式的所有组合只能是上述5个数的一个。通过这句话，我们只能得出一组可能的分解。如17可以分解成13+4或是14+3或是11+6等等，当孙膑拿到42时，可以分解成42=14*3=6*6=2*21，而14+3=17，2+21=23都是上面10个候选解中的数字，可知17不能分解为14+3，同理，可以得出上述5个数的可能分解：
11的可能的分解：(4,7),(3,8),(2,9),
17的可能的分解：(4,13),
23的可能的分解：(10,13),(7,16),(4,19),
27的可能的分解：(13,14),(11,16),(10,17),(9,18),(8,19),(7,20),(5,22),(4,23),(2,25),
29的可能的分解：(13,16),(12,17),(11,18),(10,19),(8,21),(7,22),(6,23),(4,25),(2,27),
3.庞涓知道两数的和，当孙膑说知道两数的时候，庞涓也知道两数啦，那么庞涓手上的数字，只能有一个可能的分解，而上面的分解中只有17有唯一的分解。
本题的答案为：4和13.