Question

求函数y=x^2+4/√(x^2+3)的最小值。

Answer 1

令根号下x^2+3=t ≥根号3
那么x^2=t^2 -3
那么那式子化为
t^2-3 + 4 /t
现在求t^2+4/t的单调性
假设t1>t2≥根号3
那么(t1)^2 -(t2)^2 + 4/t1 -4/t2
=(t1-t2)(t1+t2)-4(t1-t2)/(t1*t2)
=(t1-t2)(t1+t2 - 4/(t1*t2))....1式
因为t1-t2>0
0<4/t1*t2 <4/3
t1+t2>3
所以1式大于0
所以是增函数
所以当t=根号3时取最小值
即x=0时取最小值4根号3 /3

Answer 2

(x^2+4)/√(x^2+3)=√(x^2+3)+1/√(x^2+3)
t=√(x^2+3)>=√3
y=t+1/t
当t>=√3时，y递增=>t=√3时，y取得最小值=4/√3

Answer 3

y=x^2+4/（√(x^2+3)）
dy/dx=2*x - (4*x)/(x^2 + 3)^(3/2)
令dy/dx=0得x=0
带入原式得y=4/(√3)=(4*√3)/3，即最小值

Answer 4

看边界是个开区间 如果有最小值，那么肯定不在边界，因此导数等于0处取得最小值
求导记导函数为g（x） g（x）=2x-12x^2 令其=0，x=1/6代入，得y=1/108
所以最小值是1/108，但边界点f（0）=0<1/108 因此最小值不存在