Question

请问这道微积分题要怎么做？

Answer 1

（1）证明：由拉格朗日中值定理，有
|x(n+1)-x0|=|f(xn)-f(x0)|=|f'(ξn)|*|xn-x0|，其中ξn介于xn和x0之间
因为对∀x∈R，有|f'(x)|<=L，所以|x(n+1)-x0|<=L*|xn-x0|
同理，|xn-x0|<=L*|x(n-1)-x0|，……，|x2-x0|<=L*|x1-x0|
即0<=|xn-x0|<=L^(n-1)*|x1-x0|
因为0<=L<1，所以lim(n->∞) L^(n-1)*|x1-x0|=0
由极限的夹逼准则，有lim(n->∞) |xn-x0|=0
又因为-|xn-x0|<=xn-x0<=|xn-x0|
再根据极限的夹逼准则，有lim(n->∞) xn=x0
（2）证明：lim(n->∞) [x(n+1)-x0]/(xn-x0)
=lim(n->∞) [f(xn)-f(x0)]/(xn-x0)
因为f(x)在R上导函数连续，则f(x)在R上一致连续
即由lim(n->∞) xn=x0，有lim(n->∞) f(xn)=f(x0)
所以lim(n->∞) [x(n+1)-x0]/(xn-x0)
=lim(xn->x0) [f(xn)-f(x0)]/(xn-x0)
=f'(x0)
因为f'(x0)≠0
所以[x(n+1)-x0]与(xn-x0)同阶无穷小