Question

高数习题

数学书有题

“ x→2时，y=x的平方→4 。问δ等于多少，使当 |x-2|<δ时 , |y-4|<0.001 ?”

书后答案是 “0.0002.”

参考书明细过程如下 因为 “当x趋于2时x的平凡趋于4 ”

所以“ 对于任意ε大于零 ，存在 δ=min{1 ,δ/5 }
当|x-2|< δ时， |x的平方减4| <5δ=ε ”

所以“取ε=0.001 则δ=min{1 ,0.001/5 }=0.002”
我现在要提问了，那个“δ/5” 是哪里冒出来的！！如果我假设“ δ/N N>0”那么答案岂不是又无限个？

Answer 1

这个问题本就有无穷多个答案，这里只需要你能给出一个充分条件就行了，比如你只要证明δ=0.0000000001时|y-4|<0.001也够了。（当然，仅就这个问题本身而言充要条件也是可以得到的）

不过从你的叙述来看你的疑问不仅是逻辑上的充分性和必要性的问题，你也并没有看懂答案在做什么。你先把答案的思路而非解题方法搞懂比较重要。

δ=min{1 ,δ/5 }明显写错了，应该是δ=min{1 ,ε/5 }，这通常是根据下一步凑出来的，而不是未卜先知。
|x^2-4|=|x-2|*|x+2|
已经知道|x-2|<δ，只要估计|x+2|，那么先要求δ<=1，这样|x+2|<5，要|x-2|*|x+2|<ε只需要额外要求δ<=ε/5就足够了，两个要求拼在一起就是δ<=min{1,ε/5}。
当然你也完全可以先要求δ<0.1，此时|x+2|<4.1，那么再额外要求δ<=ε/4.1也可以，最后写成δ=min{0.1,ε/4.1}也是对的，对于ε=0.001可以放宽一点取δ=0.00024。