Question

“ x→2时，y=x的平方→4 。问δ等于多少，使当 |x-2|<δ时 , |y-4|<0.001 ?”

数学书有题

“ x→2时，y=x的平方→4 。问δ等于多少，使当 |x-2|<δ时 , |y-4|<0.001 ?”

书后答案是 “0.0002.”

参考书明细过程如下 因为 “当x趋于2时x的平凡趋于4 ”

所以“ 对于任意ε大于零 ，存在 δ=min{1 ,δ/5 }
当|x-2|< δ时， |x的平方减4| <5δ=ε ”

所以“取ε=0.001 则δ=min{1 ,0.001/5 }=0.002”
我现在要提问了，那个“δ/5” 是哪里冒出来的！！如果我假设“ δ/N N>0”那么答案岂不是又无限个？

Answer 1

　　搞什么！这道题跟极限有半毛钱关系吗？忽略“x→2时，y=x的平方→4 。”这个条件，只拿后面的部分加上y=x^2的条件当解方程题做，完全可以，初中生就可以搞定了。

　　出题人和给出版参考答案的人就TM的故弄玄虚，大家不要被他牵着鼻子走，不要一味的崇拜答案，希望大家相信自己！（我女朋友深受毒害，我才如此言辞激烈的，望见谅。）

如果x=2+δ（注意：δ必为正数）符合 |y-4|<0.001 的要求，所有符合|x-2|<δ要求的x也必符合 |y-4|<0.001 。将x=2+δ带入解出δ即为δ能取到最大值（绝对大于0.0002，方程自解。）

　　有图有真相：前三段曲线其实就是y=|x^2-4|。

AO与BO中较小者即为δ（因为x=2右侧曲线斜率大，较快达到0.001，即BO<AO）。

Answer 2

哈哈，你真说对了，δ确有无限多个。
你可以这样想：假如对某个δ（比如δ=0.002），当|x-2|<δ时，|y-4|<0.001，则当δ取更小的值，
后面的条件是不是更能满足呢？这就是极限的意思啊：“要多近就有多近”的数学描述。

追问

我们假设 A<B<C<D ，只有当A<C时符合某一条件，显然 A<B也符合 ， 而A<D则不符合。 那么在这里δ会有一个类似于C的的较大值呢？ 根据 |y-4|<0.001 是可以求出x的范围的，然后再结合|x-2|<δ 难道不能给出δ一个完整范围？？？

追答

是啊，由|y-4|<0.0001是可以求出x的范围的，再结合|x-2|<δ就可以解出δ的范围。正是这个原因，
对给定的ε（比如ε=0.0001），才有无数个δ啊。

在极限的定义中，ε是任意给定的，δ的值只须存在就可以了。