Question

正规矩阵不同特征值的特征向量两两正交

Answer 1

对称矩阵不同特征值的特征向量一定是两两正交的,不需要加正规矩阵的条件:
设对称矩阵A特征值a1对应特征向量x1,a2对应特征向量x2,我们来证明x1'x2=0
考虑a1x1'x2=(a1x1)'x2=(Ax1)'x2=x1A'x2
a2x1x2=x1(a2x2)=x1Ax2.
这里A是对称阵,所以a1x1'x2=a2x1'x2,就是(a1-a2)x1'x2=0,因为a1和a2不等是已知条件,所以x1'x2=0.
这里要注意Ax=ax,然后x1,x2都是向量,a1和a2都是数,x1'x2是向量的内积也是一个数..其他的就都是高中知识了