Question

考研 高数 遇到问题 高手解答下

在无穷级数这一章中 用比值判别法（达朗贝尔）中 说过 逆命题不成立. 但是 如果 正项级数收敛 是否可以 判断 An+1/An<= 1?
我知道 不能 判断An+1/An<1.因为逆命题不成立 但是 是否可以判断An+1/An<= 1？？

还有 在无穷级数 求导 或积分时 ，前面是 从N=0 开始，求导后就变成 N=1开始了 这有规律吗，还是怎么回事？
望高手解答 谢谢

Answer 1

问题一没怎么看懂。是不是说由“正项级数收敛”推出“An+1/An<= 1”？按照比值判别法的定义，当n趋于无穷大时，正项级数后项与前项比如果小于1，收敛。大于1，发散。等于1时，比值法无效，需要其它方法判断，所以，等号是无法通过比值判断法得出结论。
所谓逆命题不成立，并不是指比值判别法，而是指由“An+1/An< 1”不能判断任意级数收敛，因为在不知道级数是否为正项级数的情况下，这个判定是不成立的。

问题二，没什么特别的规律，就看能不能套公式。求导或积分是以将级数求和为前提，所以，如果发现n=0时不能套用已有公式化简，而n=1时可以用公式，则可以将n=0项从整体中独立出来，剩下部分就从n=1处开始求和。其他情况比如拆分成两个和的加法也是这个道理。

追问

正项级数收敛”推出“An+1/An1 不是发散了吗 ？

追答

如果已知条件是“正项级数收敛”，可以推出“当n趋向于无穷大时，An+1/An<1或=1”。需要注意的是，结论中“n趋向于无穷大”这个条件不能漏了。

追问

恩 我看了 回答 ~ 你看下面这层楼的 这个 同学 说的 好像也有道理啊~ 你看看 看看他说的对不对~~~

追答

关于这个问题，我查了一下同济版的高数教材，确实楼下的同学说的有道理。比值法除了有正项级数的要求外，还隐含了后项与前项是可比的这样一个条件。如果后项与前项本身不可比的话，比值法是不能使用的。他的举例没有问题。

Answer 2

第一个问题：正项级数收敛能否推出An+1/An<= 1 ？
答案是不能（即便是n趋向于无穷大时，也不能得到结论An+1/An<= 1）
反例：n为奇数时，An=1/n^2，n为偶数时，An=1/n^3
则An恒正，且级数收敛，但An不单调递减
原因：“自某项之后，An+1/An<= 1”与“自某项之后，An+1/An>1”这两者不是互为否定的，有可能两者都不成立。

第二个问题，你提的太模糊了，有可能是n=0时，An=0.，所以舍掉了，就变成从1开始，如果想知道更详细，就请把问题提得更明确一点。

追问

第一个问题 你说的挺对 不过这个例子 ~~ 这个例子 说明 A n+1/ A n 当 n趋近无穷大 时 不存在！ 恩 没错 的确推不出来的 谢谢你的回答！