Question

问一个多元函数求极值的问题

求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，其中D是由直线x+y=2pai ,x轴和y轴围成的有界闭区域

这个题是先求该函数的一阶偏导数
f'x(x,y)=cosx-cos(x+y)=0
f'y(x,y)=cosy-cos(x+y)=0
求的它的解为（0,0），（0,2pai),(2pai,0),(2/3 pai,2/3 pai)
问题是(2/3 pai,2/3 pai)怎么求得的
书中说(2/3 pai,2/3 pai)在D的内部，这又怎么理解

Answer 1

f'x(x,y)=cosx-cos(x+y)=0 => cosx = cos(x+y)
f'y(x,y)=cosy-cos(x+y)=0 => cosy = cos(x+y)
0 ≤ x,y ≤ 2 Pi, 两个方程联立，x=y = x+y, x=y = 2Pi - (x+y), x+y = 2Pi
=> 四组解：x=y=0; x=y= 2Pi /3; x=0,y=2Pi; x=2Pi, y=0
在区域D 内部找驻点， 只有 （2Pi /3， 2Pi /3）
二元函数求最值，就是要找区域内部的极值（嫌疑）点，在边界上也找到极值（嫌疑）点，求出这些函数值，加以比较。

Answer 2

这个题目高中知识我不知道如何作答，可以用微积分的知识来解决
利用极值点在哪里，利用hesse矩阵
最大值：当x=y=3π/4时取得最大值2^(1/2)+1

最小值：当x=y=π/4时取得最小值2^(1/2)-1追问3π/4是哪里来的？
回答对X、对Y分别求偏导数，令其为零

追问

3π/4是书上的给的答案

追答

怎么了

追问

2π/3是怎么得出来的

追答

用微积分啊，hess矩阵

追问

hess矩阵没学过，还有其他方法吗

追答

其他的就不知道了，那你就等其他的高手来解决吧
抱歉给你造成困扰