Question

导数问题 设函数f(X)=X的三次方-二分之九X的平方+6X-a.

1.对于任意函数X，f`(x)大于等于m恒成立，求m的最大值。
2.若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求的取值范围。

Answer 1

1、f(X)=X^3-9/2X^2+6X-a，则其导数f`(x)=3x^2-9x+6=3（x-3/2）^2-1/4
若f`(x)≥m恒成立，则m≤-1/4，所以m最大值为-1/4.
2、由于函数f（x）的导数为f`(x)=3x^2-9x+6=3（x-1）（x-2），
所以函数在x＜1或x＞2时，单调递增；1≤x≤2时，单调递减。
由于f(x)=0有且仅有一个实根，则f（2）＜0
所以f（1）=1-9/2+6-a=5/2-a＞0，f（2）=8-9/2*4+6*2-a=2-a＞0
所以a＜2.
望采纳！

追问

我还是没明白第一不怎么算的、导函数求出来m怎么弄、

追答

导函数求出后，得f`(x)=3（x-3/2）^2-1/4恒大于等于-1/4 ，
若此时f`(x)大于等于m恒成立，只需要m比-1/4来的小就满足了~~~
还有不懂可以问！

Answer 2

解：1、 先求导：f'(x)=3x^2-9x+6=3(x^2-3x+2)=3(x^2-3x+9/4-5/4)=3(x-3/2)^2-15/4
∵ f'(x) ≥m 恒成立，即：3(x-3/2)^2-15/4≥m 恒成立
又∵ 3(x-3/2)^2≥0 恒成立，
∴ -15/4≥m ，即：m≤ -15/4
∴ m最大值为 -15/4
2、 由1知：f'(x)=3x^2-9x+6=3(x^2-3x+2)=3(x-1)(x-2)
∴f(x)在x<1或x>2时，单调递增，
f(x)在1≤x≤2时，单调递减
∵f(x)=0有且仅有一个实根，
∴f(2)＜0，
∴f(1)=1-9/2+6-a＞0 ，f(2)=8-18+12-a＞0
联立两式，解得：a＜2