Question

如图三角形ABC中D为AC上一点，cd=2da，角BAC等于45度,角bdc60度，ce垂直bd，e为垂足。连结ae

（1）ed=da (2)角eba=角eab（3）be的平方=ad×ac

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=60°，CE⊥BD，求得∠ECD=30°，根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可得CD=2ED，又由CD=2DA，即可证得ED=DA；
（2）由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；
（3）根据有两角对应相等的三角形相似，易证△AED∽△ACE，又由相似三角形的对应边成比例，即可证得BE²=AD•AC．
解答：证明：（1）∵CE⊥BD，
∴∠CED=90°，
又∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CD=2ED，
∵CD=2DA，
∴ED=DA；

（2）∵ED=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠EDC=60°，
∴∠EAD=∠DEA=30°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAB=15°，
又∠BDC=∠DBA+∠BAD，
∴∠DBA=15°，
∴∠EAB=∠EBA；

（3）∵∠EAB=∠EBA，
∴BE=AE，
∵∠AED=∠ACE，
∴△AED∽△ACE，
∴ AEAC=ADAE，
∴AE²=AD•AC，
即BE²=AD•AC．
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