《三角形的面积》教学设计 原创
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【教学内容】
人教版五年级上册和第六单元第91页、92页例2及练习
【教材与学情分析】
《三角形的面积》一课属于“图形与几何”，是小学数学人教版五年级上册的学习内容。教材把内容安排在学生学习了三下《长方形的面积》、四下《三角形的认识》以及五上《平行四边形的面积》等知识之后。由于常见的多边形（包括圆）都可以分成若干个三角形，因此不但求多边形面积时可以先求出各个三角形面积再相加，包括面积公式都可以利用三角形面积公式进行推导。可以说本课内容具有承上启下的作用，其核心地位毋庸置疑。
人教版教材中仅提供了“倍拼”这个方法，引导学生将直角、锐角、钝角三类三角形转化为已学过的平行四边形，与此同时舍弃了格子图。那么大部分学生会自觉想到将三角形倍拼转化成平行四边形呢？还是转化成长方形呢？在没有格子图支撑下，学生能否顺利推导出三角形的面积公式呢？教材为何这样安排？
基于上述问题与书本理论阐述，我设计前测了解本班学生学习起点。测查如下图所示，在五（1）班上交前测单的学生中，能自主探究求出直角三角形面积并推导公式的有22人，占84.6%，并且都选择了研究格子图中的直角三角形。能探究求出锐角三角形面积的只有8人，占30.7%，能探究求出钝角三角形面积的只有1人，占3.8%。分析后得出学生在学习能力以及方法的选择上存在以下几个问题：
图1 图2 图3
问题一：操作能力较弱，推导生硬。
根据前测显示探究锐角三角形面积时，哪转化成长方形的思路，操作中仍是相当困难，钝角三角形同上。以探究较成功的直角三角形面积为例，转化成功的也只有84.6%。另外图1显示所转化成的图形与原直角三角形面积是否相等出现判断失误，图3则没有在算式中体现推导出的结果。结论正确，但在访谈中得知是通过提前预习知道了结论。
问题二：转化对象单一，探究遇挫。
在探究直角三角形面积的过程中，学生通过割补法、倍拼法转化，但转化成的图形都是长方形。探究锐角三角形面积的8名学生中有7位转化成长方形。探究锐角三角形和钝角三角形面积时大部分学生（图2所示）无从下手。全班仅有1名学生将锐角三角形和钝角三角形转化成平行四边形推导公式。究其原因，大部分学生图形构造能力尚未达到“合同构图者”的层次。
基于上述学情，笔者认为要以转化思想贯穿整节课，在直观操作基础上加以推理，积累并运用基本活动经验解决问题，力求提升思维层次。
【教学目标】
1．经历动手操作，把三角形转化成已经会求面积的图形的过程，进而推导出三角形的面积计算方法并优化方法。
2．掌握三角形面积计算方法，初步感知等底等高三角形面积相等。
3．进一步体会“转化”的思想，培养演绎推理能力。
【教学重点】
经历三角形面积计算公式的推导过程，并能运用面积计算公式进行正确的计算。
【教学难点】
渗透“化归转化”的数学思想，培养演绎推理能力。
【教学关键】
让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。
【教学准备】
1.ppt、三角板。
2．前测单、3张方格纸。
【教学过程】
环节一：明确目标，制定策略。（3分钟）
1．开门见山，出示课题。
今天这节课我们学习有关三角形新的知识——三角形的面积（板书课题）
2．认知探底，激发兴趣。
关于三角形的面积，通过预习，你已经知道了什么？
（预设：三角形的面积=底×高÷2）
3．回顾方法，进入探究。
如何验证三角形的面积公式？
回顾探究平行四边形的面积时的方法，三角形是否也可以转化成我们熟悉的图形呢？
（预设：转化成长方形。）
三角形那么多，怎么研究呢？
（预设：分成三类三角形研究）
课件出示三类带方格背景的三角形:直角三角形、锐角三角形，钝角三角形。
（过渡：我们先从直角三角形来研究。）
【设计意图】开门见山，了解学生的学习起点，抛出需要研究的问题，明确学习目标。通过回顾旧知，肯定“转化”思想在图形研究中的重要地位，再通过提问引导学生分类研究三角形面积，渗透“分类验证”的思想。
环节二、借助直观，分层探究
1．【活动一】：自主探究直角三角形的面积
（1）展示探究，暴露问题。
出示前测单
预设：有操作过程，推导内容错误、不完整或者不会推导。
（2）合作交流，思维碰撞
组内互相指一指，说一说自己的想法，还未完成推导直角三角形面积的听完其他人的发言后进行修改。
（3）共同体展示，全班交流。
以共同体形式有序呈现组内学生的各种作品。
预设：
（共同体展示：1号：大家好，我们组的观点有……，有请2号同学发言……
以上是我们组的操作过程、思考与结论，请问其他组有什么补充吗？）
预设1：割补 预设2：割补 预设3：倍拼 预设4：倍拼
图4 图5
图6 图7
（3）追问启思，拓宽视野。
提问：
①为什么不通过数格子的方法求面积呢？（预设：有些不是整格，拼更方便）
②有哪些不同的拼法？（预设：割补法、倍拼法）
③只能转化成长方形吗？（预设：还可以转化成平行四边形）
（4）基于操作，提升思维
提供每人一个与图中完全一样的直角三角形，操作拼成平行四边形。
展示图7：倍拼成平行四边形。
结论：直角三角形的面积=底×高÷2
（5）再次探究，归纳直角三角形面积
①提问：任意一个直角三角形都能这样转化吗？请在课前准备的方格纸上画一个任意直角三角形探究。
②学生操作，汇报发现
③归纳：直角三角形的面积=底×高÷2
【设计意图】
①低地板高天花板。活动一提供了两种直角三角形(其中一个是带方格背景的直角三角形)，供学生自主选择，让不同思维层次的学生进行不同的思维训练。之所以先研究直角三角形是因为它对于学生来说研究难度最低，转化成长方形最简单，提供了较低的学习起点。另外学生借助方格背景直观操作，降低了研究的抽象性，实现人人参与。
②重过程又重表达。根据前测发现，学生虽能通过“割补”、“倍拼”自主探究直角三角形的面积，但是推导过程常常出错。因此，在活动一里，组织学生以共同体形式交流、展示，生生互学。注重在组内和全班交流时通过指一指、说一说，清晰表达想法，以此培养推理能力。
2.【活动二】：合作探究锐角三角形面积和钝角三角形的面积
（1）明确操作任务。
锐角三角形和钝角三角形是否也能解决呢？
出示学习单
锐角三角形
钝角三角形
（2）组织交流发布。
（呈现典型方法）
A、锐角三角形展示：
图8 图9
图10 图11
预设方法1. 割补成长方形 图8
预设方法2：倍拼成长方形 图9
追问：只能转化成长方形吗？（预设：还可以拼成平行四边形）
预设方法3：倍拼成平行四边形 图10
再次追问：还能转化成什么？（预设：转化成两个直角三角形相加）
预设方法4：割成两个直角三角形 图11
直角三角形+直角三角形：
5×4÷2-2×4÷2
=（5-2）× 4 ÷ 2
B、钝角三角形展示：
图11 图12
提问：现在用割补法还能轻松拼成长方形吗？
预设方法1：将钝角三角形旋转，最长边水平放置，然后割补成长方形。（底边不是整格，不方便）
提问：能否从前两种三角形的研究里得到启发呢？
预设方法2：倍拼成平行四边形 图 11 展示
提问：还能转化成什么？（两个直角三角形相减）
预设方法3：大直角三角形-小直角三角形：图 12 展示
5×4÷2-2×4÷2
=（5-2）× 4 ÷ 2
（3）小结归纳。
提问：哪一种转化方法是探究三类三角形面积通用的？（预设：倍拼成平行四边形）
归纳得出统一公式：
三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
【设计意图】
①用好方格。活动二依然采用了方格背景，不同于活动一的是此时方格没有标注每格边长为1厘米，不同层次的学生对于方格有不同的理解，层次高的孩子可以理解为每格为一个单位。
②突破难点。活动二碰到问题：转化对象单一。如何突破呢？探究锐角三角形时笔者通过不断追问“只能转化成长方形吗？”“还能转化成什么？”一次次打破学生思维的局限性。引导学生想一想、画一画，倍拼成平行四边形或者分割成直角三角形。探究钝角三角形时方法同上。学生的每一次操作与思考都成为研究新三角形的基本活动经验。
环节三、活学巧练，拓展应用
（一）基础训练
图13
1.看图求面积。
a.算一算
预设1：3×4÷2
预设2：5×2.4÷2
b.想一想：3×4求的是什么图形的面积？5×2.4呢？
Ppt展示：
图14 图15 图16 图17
【设计意图】①熟悉三角形面积计算公式 ；②会说三角形面积算式的几何意义
2. 下图中与阴影部分面积相待的三角形有几个？它们为什么相等？你还能在图中画出一个与它们面积相等的三角形吗？试试看。
a.尝试画图
b．展示典型作品。
（预设：有2个，因为它们同底等高。图如下）
图18 图19
c．填表（预设）：
底/cm 3 4 6 12 1 5
高/cm 4 3 2 1 12 2.4
d.小结，说说自己的发现。
（预设：面积相等的三角形，底与高的积相等）
【设计意图】此题设计由易到难，给学生图形构造足够的空间，引导学生从函数的观点进一步认识公式的含义，体会底、高与面积之间的关系。
（二）拓展练习
图20
1.求出三角形的周长，你能想出几种方法？
a.算一算，
预设1： 3×4÷2=6(平方厘米)
6×2÷2.4=5（厘米）
5+4+3=12（厘米）
预设2： 3×4÷2.4=5（厘米）
5+4+3=12（厘米）
预设3： 2.4×X=3×4
X=5
5+4+3=12（厘米）
【设计意图】本题涉及三角形面积和周长，综合考察学生解决几何图形的能力。方法一体现逆向思维求角，方法二体现：面积相等的三角形底与高的积相同。方法三复习用方程求解三角形的面积。
2.求出图中③的面积。
提问：在没有底与高的条件下如何求面积？
图21 图22
预设：（如上图）
【设计意图】此题思维含金量比较高，结合辅助线理解。考查学生综合应用几何知识的能力。
【作业设计】
1.长方形面积为30平方厘米，求阴影部分面积。
图22
2．阅读三角形的面积的相关资料（之江汇作业）。
3．合作探究：梯形的面积怎么求？能否应用三角形的
面积公式进行推导？
板书设计：
【教学反思】
本节课教学设计基于学情，引领孩子实现了如下三个方面的提升：
一、突破思维局限，优化方法。
基于“让不同学生有不同发展”的教学理念，在验证直角三角形面积的环节里，借助简单的“学材”——方格，先小组合作交流，共同体展示探究直角三角形面积的过程，发散思维，实现转化方法的多样化和转化对象的多样化。然后以此为经验探究锐角三角形面积和钝角三角形面积。最后归纳总结，优化方法（倍拼成平行四边形再除以2）。学生在有目的的操作中，思维能力得到了提升。
二、提升推理能力，基于直观。
整节课“转化思想”贯穿始终，注重结合直观操作进行推理，合作交流中注重清晰表达。尝试应用刚推导出的直角三角形面积公式推导另两类三角形的面积公式，为以后的梯形面积推导打下基础。
三、抓住内容本质，透过提问
本节课的关注教学问题的设计。高阶问题：可是三角形那么多，怎么研究呢？追问：只能转化成长方形吗？还有什么不同的方法吗？你从直角三角形和锐角三角形的面积研究中得到什么启发？算式的意义是什么？……以问题促进思考，深入理解。
在这一节课的教学中，我以“操作---推理”相结合的想法为指导，从研究直角三角形入手，分类验证，引导学生步步深入探究，验证结论。每个孩子都感悟到学习的乐趣。
人教版五年级上册和第六单元第91页、92页例2及练习
【教材与学情分析】
《三角形的面积》一课属于“图形与几何”，是小学数学人教版五年级上册的学习内容。教材把内容安排在学生学习了三下《长方形的面积》、四下《三角形的认识》以及五上《平行四边形的面积》等知识之后。由于常见的多边形（包括圆）都可以分成若干个三角形，因此不但求多边形面积时可以先求出各个三角形面积再相加，包括面积公式都可以利用三角形面积公式进行推导。可以说本课内容具有承上启下的作用，其核心地位毋庸置疑。
人教版教材中仅提供了“倍拼”这个方法，引导学生将直角、锐角、钝角三类三角形转化为已学过的平行四边形，与此同时舍弃了格子图。那么大部分学生会自觉想到将三角形倍拼转化成平行四边形呢？还是转化成长方形呢？在没有格子图支撑下，学生能否顺利推导出三角形的面积公式呢？教材为何这样安排？
基于上述问题与书本理论阐述，我设计前测了解本班学生学习起点。测查如下图所示，在五（1）班上交前测单的学生中，能自主探究求出直角三角形面积并推导公式的有22人，占84.6%，并且都选择了研究格子图中的直角三角形。能探究求出锐角三角形面积的只有8人，占30.7%，能探究求出钝角三角形面积的只有1人，占3.8%。分析后得出学生在学习能力以及方法的选择上存在以下几个问题：
图1 图2 图3
问题一：操作能力较弱，推导生硬。
根据前测显示探究锐角三角形面积时，哪转化成长方形的思路，操作中仍是相当困难，钝角三角形同上。以探究较成功的直角三角形面积为例，转化成功的也只有84.6%。另外图1显示所转化成的图形与原直角三角形面积是否相等出现判断失误，图3则没有在算式中体现推导出的结果。结论正确，但在访谈中得知是通过提前预习知道了结论。
问题二：转化对象单一，探究遇挫。
在探究直角三角形面积的过程中，学生通过割补法、倍拼法转化，但转化成的图形都是长方形。探究锐角三角形面积的8名学生中有7位转化成长方形。探究锐角三角形和钝角三角形面积时大部分学生（图2所示）无从下手。全班仅有1名学生将锐角三角形和钝角三角形转化成平行四边形推导公式。究其原因，大部分学生图形构造能力尚未达到“合同构图者”的层次。
基于上述学情，笔者认为要以转化思想贯穿整节课，在直观操作基础上加以推理，积累并运用基本活动经验解决问题，力求提升思维层次。
【教学目标】
1．经历动手操作，把三角形转化成已经会求面积的图形的过程，进而推导出三角形的面积计算方法并优化方法。
2．掌握三角形面积计算方法，初步感知等底等高三角形面积相等。
3．进一步体会“转化”的思想，培养演绎推理能力。
【教学重点】
经历三角形面积计算公式的推导过程，并能运用面积计算公式进行正确的计算。
【教学难点】
渗透“化归转化”的数学思想，培养演绎推理能力。
【教学关键】
让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。
【教学准备】
1.ppt、三角板。
2．前测单、3张方格纸。
【教学过程】
环节一：明确目标，制定策略。（3分钟）
1．开门见山，出示课题。
今天这节课我们学习有关三角形新的知识——三角形的面积（板书课题）
2．认知探底，激发兴趣。
关于三角形的面积，通过预习，你已经知道了什么？
（预设：三角形的面积=底×高÷2）
3．回顾方法，进入探究。
如何验证三角形的面积公式？
回顾探究平行四边形的面积时的方法，三角形是否也可以转化成我们熟悉的图形呢？
（预设：转化成长方形。）
三角形那么多，怎么研究呢？
（预设：分成三类三角形研究）
课件出示三类带方格背景的三角形:直角三角形、锐角三角形，钝角三角形。
（过渡：我们先从直角三角形来研究。）
【设计意图】开门见山，了解学生的学习起点，抛出需要研究的问题，明确学习目标。通过回顾旧知，肯定“转化”思想在图形研究中的重要地位，再通过提问引导学生分类研究三角形面积，渗透“分类验证”的思想。
环节二、借助直观，分层探究
1．【活动一】：自主探究直角三角形的面积
（1）展示探究，暴露问题。
出示前测单
预设：有操作过程，推导内容错误、不完整或者不会推导。
（2）合作交流，思维碰撞
组内互相指一指，说一说自己的想法，还未完成推导直角三角形面积的听完其他人的发言后进行修改。
（3）共同体展示，全班交流。
以共同体形式有序呈现组内学生的各种作品。
预设：
（共同体展示：1号：大家好，我们组的观点有……，有请2号同学发言……
以上是我们组的操作过程、思考与结论，请问其他组有什么补充吗？）
预设1：割补 预设2：割补 预设3：倍拼 预设4：倍拼
图4 图5
图6 图7
（3）追问启思，拓宽视野。
提问：
①为什么不通过数格子的方法求面积呢？（预设：有些不是整格，拼更方便）
②有哪些不同的拼法？（预设：割补法、倍拼法）
③只能转化成长方形吗？（预设：还可以转化成平行四边形）
（4）基于操作，提升思维
提供每人一个与图中完全一样的直角三角形，操作拼成平行四边形。
展示图7：倍拼成平行四边形。
结论：直角三角形的面积=底×高÷2
（5）再次探究，归纳直角三角形面积
①提问：任意一个直角三角形都能这样转化吗？请在课前准备的方格纸上画一个任意直角三角形探究。
②学生操作，汇报发现
③归纳：直角三角形的面积=底×高÷2
【设计意图】
①低地板高天花板。活动一提供了两种直角三角形(其中一个是带方格背景的直角三角形)，供学生自主选择，让不同思维层次的学生进行不同的思维训练。之所以先研究直角三角形是因为它对于学生来说研究难度最低，转化成长方形最简单，提供了较低的学习起点。另外学生借助方格背景直观操作，降低了研究的抽象性，实现人人参与。
②重过程又重表达。根据前测发现，学生虽能通过“割补”、“倍拼”自主探究直角三角形的面积，但是推导过程常常出错。因此，在活动一里，组织学生以共同体形式交流、展示，生生互学。注重在组内和全班交流时通过指一指、说一说，清晰表达想法，以此培养推理能力。
2.【活动二】：合作探究锐角三角形面积和钝角三角形的面积
（1）明确操作任务。
锐角三角形和钝角三角形是否也能解决呢？
出示学习单
锐角三角形
钝角三角形
（2）组织交流发布。
（呈现典型方法）
A、锐角三角形展示：
图8 图9
图10 图11
预设方法1. 割补成长方形 图8
预设方法2：倍拼成长方形 图9
追问：只能转化成长方形吗？（预设：还可以拼成平行四边形）
预设方法3：倍拼成平行四边形 图10
再次追问：还能转化成什么？（预设：转化成两个直角三角形相加）
预设方法4：割成两个直角三角形 图11
直角三角形+直角三角形：
5×4÷2-2×4÷2
=（5-2）× 4 ÷ 2
B、钝角三角形展示：
图11 图12
提问：现在用割补法还能轻松拼成长方形吗？
预设方法1：将钝角三角形旋转，最长边水平放置，然后割补成长方形。（底边不是整格，不方便）
提问：能否从前两种三角形的研究里得到启发呢？
预设方法2：倍拼成平行四边形 图 11 展示
提问：还能转化成什么？（两个直角三角形相减）
预设方法3：大直角三角形-小直角三角形：图 12 展示
5×4÷2-2×4÷2
=（5-2）× 4 ÷ 2
（3）小结归纳。
提问：哪一种转化方法是探究三类三角形面积通用的？（预设：倍拼成平行四边形）
归纳得出统一公式：
三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
【设计意图】
①用好方格。活动二依然采用了方格背景，不同于活动一的是此时方格没有标注每格边长为1厘米，不同层次的学生对于方格有不同的理解，层次高的孩子可以理解为每格为一个单位。
②突破难点。活动二碰到问题：转化对象单一。如何突破呢？探究锐角三角形时笔者通过不断追问“只能转化成长方形吗？”“还能转化成什么？”一次次打破学生思维的局限性。引导学生想一想、画一画，倍拼成平行四边形或者分割成直角三角形。探究钝角三角形时方法同上。学生的每一次操作与思考都成为研究新三角形的基本活动经验。
环节三、活学巧练，拓展应用
（一）基础训练
图13
1.看图求面积。
a.算一算
预设1：3×4÷2
预设2：5×2.4÷2
b.想一想：3×4求的是什么图形的面积？5×2.4呢？
Ppt展示：
图14 图15 图16 图17
【设计意图】①熟悉三角形面积计算公式 ；②会说三角形面积算式的几何意义
2. 下图中与阴影部分面积相待的三角形有几个？它们为什么相等？你还能在图中画出一个与它们面积相等的三角形吗？试试看。
a.尝试画图
b．展示典型作品。
（预设：有2个，因为它们同底等高。图如下）
图18 图19
c．填表（预设）：
底/cm 3 4 6 12 1 5
高/cm 4 3 2 1 12 2.4
d.小结，说说自己的发现。
（预设：面积相等的三角形，底与高的积相等）
【设计意图】此题设计由易到难，给学生图形构造足够的空间，引导学生从函数的观点进一步认识公式的含义，体会底、高与面积之间的关系。
（二）拓展练习
图20
1.求出三角形的周长，你能想出几种方法？
a.算一算，
预设1： 3×4÷2=6(平方厘米)
6×2÷2.4=5（厘米）
5+4+3=12（厘米）
预设2： 3×4÷2.4=5（厘米）
5+4+3=12（厘米）
预设3： 2.4×X=3×4
X=5
5+4+3=12（厘米）
【设计意图】本题涉及三角形面积和周长，综合考察学生解决几何图形的能力。方法一体现逆向思维求角，方法二体现：面积相等的三角形底与高的积相同。方法三复习用方程求解三角形的面积。
2.求出图中③的面积。
提问：在没有底与高的条件下如何求面积？
图21 图22
预设：（如上图）
【设计意图】此题思维含金量比较高，结合辅助线理解。考查学生综合应用几何知识的能力。
【作业设计】
1.长方形面积为30平方厘米，求阴影部分面积。
图22
2．阅读三角形的面积的相关资料（之江汇作业）。
3．合作探究：梯形的面积怎么求？能否应用三角形的
面积公式进行推导？
板书设计：
【教学反思】
本节课教学设计基于学情，引领孩子实现了如下三个方面的提升：
一、突破思维局限，优化方法。
基于“让不同学生有不同发展”的教学理念，在验证直角三角形面积的环节里，借助简单的“学材”——方格，先小组合作交流，共同体展示探究直角三角形面积的过程，发散思维，实现转化方法的多样化和转化对象的多样化。然后以此为经验探究锐角三角形面积和钝角三角形面积。最后归纳总结，优化方法（倍拼成平行四边形再除以2）。学生在有目的的操作中，思维能力得到了提升。
二、提升推理能力，基于直观。
整节课“转化思想”贯穿始终，注重结合直观操作进行推理，合作交流中注重清晰表达。尝试应用刚推导出的直角三角形面积公式推导另两类三角形的面积公式，为以后的梯形面积推导打下基础。
三、抓住内容本质，透过提问
本节课的关注教学问题的设计。高阶问题：可是三角形那么多，怎么研究呢？追问：只能转化成长方形吗？还有什么不同的方法吗？你从直角三角形和锐角三角形的面积研究中得到什么启发？算式的意义是什么？……以问题促进思考，深入理解。
在这一节课的教学中，我以“操作---推理”相结合的想法为指导，从研究直角三角形入手，分类验证，引导学生步步深入探究，验证结论。每个孩子都感悟到学习的乐趣。
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