Question

已知在矩形ABCD中,AB=2，BC=3，是AD上一个动点，且与A、D不重合，过P作PE⊥PC,交边AB于E，设PD=x,AE=y

若△PCD的面积=4△AEP的面积，计算四边形PCBE的外接圆面积

Answer 1

由△PCD的面积=4△AEP的面积，可知S△PCD=4S△AEP。

因为AB=2，BC=3，PD=x,AE=y，可得0.5*2*x=4*0.5*y*(3-x),化简得x/y=2(3-x)

因为PE⊥PC，所以∠DPC=∠AEP,所以可得△PCD∽△AEP,所以PD/AE=DC/AP，得x/y=2/(3-x)

由上面2个式子得x=2,y=1

然后作图可得四边形PCBE的外接圆中心为CE中点（可用直角三角形外接圆中心在斜边中心来证明，用△CEP和△CEB），所以外接圆半径为CE/2,由勾股得CE=根号10，所以面积是7.85也可写成2.5π

Answer 2

易得△PCD和△AEP相似。又因为△PCD的面积=4△AEP的面积，所以对应边比例为2.
AP/DC=1/2 所以AP=1. PD=2. AE=1.EB=1 BC=3. EC=根号10 易得 PCBE四点共圆。EC为直径。就可以求出面积了。