Question

在数列An中，a1=根号3，an+1=根号（1+an²）-1/an（n∈N*）

在数列An中，a1=根号3，an+1=根号（1+an²）-1/an（n∈N*）《根号包含（1+an²），根号（1+an²）-1 是一个整体 共同除以an》，数列Bn满足0＜bn＜π/2，且an=tanbn（n∈N*）

（1）求b1 b2的值

（2）求数列bn的通项公式

（3）设数列的前n项和为sn，若对于任何的n∈N*，不等式Sn≥（-1）的n次方λbn恒成立，求实数λ的取值范围。

Answer 1

1 a1=√3 b1= arctana1 b1=π/3 (0<bn<π/2)
a2=[根号(1+a1^2)-1]/a1=√3/3 b2=arctana2=π/6
2 an+1=[根号（1+an^2)-1]/an=[根号(1+tanbn^2)-1]/tanbn=(1-cosbn)/sinbn
∴ tanbn+1=sinbn+1/cosbn+1=(1-cosbn)/sinbn
整理得 cos(bn+1-bn)=cosbn+1
∵0<bn<π/2
∴bn+1-bn=-bn+1 即 bn+1=1/2bn
b1=π/3 ∴bn=2^(-n+1)π/3
3 Sn=2π/3[1-2^(-n)]≥(-1)^nλbn=(-1)^nλ2^(-n+1)π/3
整理不等式
（-1)^nλ≤2^n-1
当n为奇数 λ≥ 1-2^n
当n为偶数 λ≤2^n-1

Answer 2

原题应为：
a1=√3,a(n+1)=(an-√3)/[(√3an )+1]，求a2011=?

a1=√3,
a2=0/(3+1)=0,
a3=-√3/1=-√3
a4=-2√3/(-3+1)=√3= a1
a5=0/(3+1)=0=a2,
……
3个数一循环
所以a2011=a1=√3.

Answer 3

Bn=n/2 *兀+兀/4

Answer 4

1 a1=√3 b1= arctana1 b1=π/3 (0<bn<π/2)
a2=[根号(1+a1^2)-1]/a1=√3/3 b2=arctana2=π/6
2 an+1=[根号（1+an^2)-1]/an=[根号(1+tanbn^2)-1]/tanbn=(1-cosbn)/sinbn
∴ tanbn+1=sinbn+1/cosbn+1=(1-cosbn)/sinbn
cos(bn+1-bn)=cosbn+1
∵0<bn<π/2
∴bn+1-bn=-bn+1 即 bn+1=1/2bn
b1=π/3 则bn=2^(-n+1)π/3
3 Sn=2π/3[1-2^(-n)]≥(-1)^nλbn=(-1)^nλ2^(-n+1)π/3
（-1)^nλ≤2^n-1
λ≥ 1-2^n n=2k+i
λ≤2^n-1 n=2k