Question

初二数学问题

在△ABCA中，点O是AC边上一动点，过O作直线MN∥BC,设MN与∩BCA的平分线交于点E,与∩BCA的外角平分线交于点F
1.求证EO=FO
2.当点O运动到何时，四边形AECF是矩形？证明你的结论

Answer 1

1、证明：
CE和CF是角平分线
∠OCF=∠DCF
∠OCE=∠ECB
所以∠ECF=90度
MN//BC
所以∠DCF=∠OFC=∠OCF
∠OCE=∠OEC=∠ECB
所以边OE=OC=OF（等腰3角行）
2、因为O点无论怎么移动，OF=OC=OE都成立，角ECF=90度
反证法，当AECF是矩形时
所以AC=EF（矩形中对角线相等）
AC=AO+OC
EF=EO+OF
OF=OC=OE
所以得出OF=OC=OE=AO
所以当o是AC中点时候是矩形

Answer 2

<ECA=1/2 <BCA
MN∥BC <CEF=<ECB=1/2 <BCA
所以,<ECA=<CEF ，那么CO=OE
同理可证, CO=OF
所以 EO=FO

<ECA=1/2 <BCA <FCA=1/2(180-<BCA)
则，<ECA+<FCA=1/2 (<BCA+180-<BCA)=90
所以，<ECF是直角
当O点在AC的中点位置上时,AO=CO
又EO=FO，则AECF是平行四边形。且有一个直角。此时为矩形。

Answer 3

证明：1.因为MN∥BC ，且MN与∩BCA的平分线交于点E,与∩BCA的外角平分线交于点F
所以 ∩BCE=∩CEF=∩ACE,同理 ∩ACF=∩CFE
所以 MO=CO=NO 且∩ECN=90
2.当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
当O运动到AC中点时 MO=CO=NO=AO （1已证明）
所以四边形AECF是矩形