Question

高一数学向量题：已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点

已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=（OB+OC）/2+λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心，求解。
注：OB,OC,AB,AC都是向量

Answer 1

不是我写我只是搬运工……
通过观察，发现点O可以化没掉。具体如下：两边都×2：
2OP=OB+OC+2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.
移项：(OP-OB)+(OP-OC)=2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.
即：BP+CP=2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.（1）
然后建立坐标：以BC为X轴，过A作Y轴。B（b,0)A(0,a)c(c,o)，（令b<c)P(X,Y).由（1）式可得等式(得到等式的具体过程写在你的空间中）：x=(b+c)/2,y=λ（a/b-a/c).∵y＞o,且λ任意正实数故p为线段BC的中垂线，即P为通过三角形外心的射线

追问

重点是得到等式的具体过程写在你的空间中这一句看得我无比伤神

追答

哈哈……
我犯下的过错我来解决

BP+CP=2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）

AB/|AB|是方向沿AB的单位向量，记为c向量（对角C),同理记AC/|AC|为单位向量b。右边乘BC向量后可以写成λ[(c·BC)/cosB+(b·BC)/cosC]，你画个图看看，AB与BC的夹角是π-B，所以c·BC=|c|·|BC|·cos(π-B)=-|c|·|BC|cosB ，AC与BC的夹角是C所以b·BC=|b|·|BC|cosC
λ[(c·BC)/cosB+(b·BC)/cosC
就是λ[-|c|·|BC|+|b|·|BC|]
=λ|BC|(|b|-|c|)。由于b、c皆为单位向量，故二者模长都为1，因此右式为零，所以左式也为零，故有（BP+CP）BC=0，即P点轨迹必过ΔABC的外心。

追问

（BP+CP）BC=0以上都看懂了。最后必过外心还是没懂。
您就讲明白吧，谢谢啊等会儿给你补分成不~

追答

（BP+CP）BC=0这个出来就按照
以BC为X轴，过A作Y轴。B（b,0)A(0,a)c(c,o)，（令b<c)P(X,Y)
BPBC+CPBC=0
（x-b，y）（c-b，0）+(x-c,y)(c-b,0)=0
x=(b+c)/2 y=y为任何值都可能
P的轨迹是 BC的垂直平分线
外心指三角形三条边的垂直平分线的相交点。
动点P的轨迹一定通过△ABC的外心

Answer 2

2OP=OB+OC+2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.
移项：(OP-OB)+(OP-OC)=2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.
即：BP+CP=2λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.（1）
然后建立坐标：以BC为X轴，过A作Y轴。B（b,0)A(0,a)c(c,o)，（令b<c)P(X,Y).由（1）式可得等式(得到等式的具体过程写在你的空间中）：x=(b+c)/2,y=λ（a/b-a/c).∵y＞o,且λ任意正实数故p为线段BC的中垂线，即P为通过三角形外心的射线。

Answer 3

只要把上式两边同时乘以向量BC即可化简式子！
OP=（OB+OC）/2+λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）.

∵ λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC）乘以BC=0
∴原式可化为
OP乘以 BC =（OB+OC）/2 乘以BC
设BC中点为D 易得
PB=PC PD垂直BC
点P的轨迹通过△ABC的外心

Answer 4

不懂