已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1．求证： a+b+c≥ 3 ．
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证明：要证原不等式成立，只需证（a+b+c） 2 ≥3，即证a 2 +b 2 +c 2 +2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a 2 +b 2 +c 2 ≥1，即a 2 +b 2 +c 2 -1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a 2 +b 2 +c 2 -（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a 2 +2b 2 +2c 2 -2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b） 2 +（b-c） 2 +（c-a） 2 ≥0，而（a-b） 2 +（b-c） 2 +（c-a） 2 ≥0显然成立，
故原不等式成立．
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a 2 +b 2 +c 2 ≥1，即a 2 +b 2 +c 2 -1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a 2 +b 2 +c 2 -（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a 2 +2b 2 +2c 2 -2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b） 2 +（b-c） 2 +（c-a） 2 ≥0，而（a-b） 2 +（b-c） 2 +（c-a） 2 ≥0显然成立，
故原不等式成立．
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