Question

奥数题（八年级）

已知ax+by=7, ax²+by²=49 ,ax³+by³=133 ,ax4（这个4是四次方的意思)+by4=406,试求
2005（x+y）+6xy-17/2（a+b）的值。

要有详细的解答..
快！！！

Answer 1

解：列式：
ax+by=7 （1）
ax²+by²=49 (2)
ax³ +by³=133 (3)
ax4+by4=406 (4)
将（1）（2）（3）分别乘以（x+y）可得：
（ax+by）（x+y）=ax²+by²+xy（a+b）=49+xy（a+b) (11)
(ax²+by²)(x+y)= ax³ +by³+xy(ax+by)=133+xy(ax+by) (22)
(ax³ +by³)(x+y)=ax4+by4+xy(ax²+by²)=406+xy(ax²+by²) (33)
再设（x+y）、(xy)、(a+b)分别为A、B、C可得：
7A=49+BC (111)
49A=133+7B (222)
133A=406+49B (333)
解三元一次方程可得：
A=2.5 B=-1.5 C=21
将A、B、C代入2005（x+y）+6xy-17/2（a+b）可得：2005（x+y）+6xy-17/2（a+b）=4825

Answer 2

ax^2=49-by^2， by^2=49-ax^2
=>ax^3=49x-bxy^2， by^3=49y-ax^2y
相加得
ax^3+by^3=49(x+y)-xy(ax+by)=133
=>49(x+y)-7xy=133
7(x+y)-xy=19 (1)

同理 ax^3=133-by^3，by^3=133-ax^3
=>ax^4=133x-bxy^3，by^4=133y-ax^3y
相加得
406=ax^4+by^4=133(x+y)-xy(ax^2+by^2)
=>133(x+y)-49xy=406
19(x+y)-7xy=58 (2)

由(1)(2)联立，设x+y=M，xy=N
得 7M-N=19
19M-7N=58,解得 M=2.5，N=-1.5
=> x+y=2.5，xy=-1.5

ax=7-by，by=7-ax
=>ax2=7x-bxy，by2=7y-axy
相加得49=ax2+by2=7(x+y)-xy(a+b)
=> 1.5(a+b)=49-7×2.5
=> a+b=21

所以，原式=2005*2.5+6*(-1.5)-17/2*21=4825

Answer 3

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