Question

一道高中数学求最值题

平面四边形ABCD中，AB=根号3，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S,T.问S的平方+T的平方的最大值为多少

Answer 1

由余弦定理可得
AD^2 + AB^2 - 2*AD*AB*cosA = BD^2 = CD^2 + CB^2 - 2*CD*CB*cosC = BD^2,
则可得1+3 - 2√3 cosA = 1+1 - 2cosC, 即cosC=√3 cosA -1. (#)
因为S=1/2* AD * AB * sinA = 1/2 * √3 sinA, T=1/2* CD* CB * sinC = 1/2 * sinC, 所以
S^2 + T^2 = 3/4 * (sinA)^2 + 1/4 * (sinC)^2 = 3/4 * (1- (cosA)^2) + 1/4* (1- (cosC)^2), (利用(#式)
= 1- 3/4 * (cosA)^2 - 1/4 * (√3 cosA -1)^2
= -3/2 * (cosA - √3/6)^2 + 7/8
所以当cosA=√3/6, 或∠A=arccos(√3/6)时，S^2 + T^2的最大值为7/8.

Answer 2

同学，首先我告诉你这个题的答案，因为BC=CD所以角C是直角。连接BD根据直角三角形勾股定理，求得BD=根号2.所以三角形ABD正好也是直角三角形，这样你就可以画出图来。根据图你就可以简单的求出答案了。祝你好运。

Answer 3

很明显，最大值时ABCD为凸四边形
设∠DAB=θ
S=(1/2)AB*AD*sinθ -------------------------------------------------(1)
过D作AB上的垂线E 可求出DE、BE，进而求出BD
此时△BCD三边BD、BC、CD已知，可用海伦公式求的T的面积 -----------(2)
由(1)、(2)即可求出S的平方+T的平方的最大值
附：海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ，其中p=(a+b+c)/2 ，a、b、c为三角形三边