Question

线性代数学习总结-向量空间与子空间

Answer 1

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解

简而言之向量空间 包含了所有含有 个分量的向量。那 向量空间内 就很好理解了，就是任何 空间内的向量， 相加，乘以系数 （即线性组合），其结果依旧在这个空间内。

那么子空间呢？
子空间就是一组满足其 线性组合 依旧在该集合内的向量集合（包含0）

最重要的子空间直接跟矩阵 相关。
对于
考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些 是可解的，一些 是不可解的，那么对于这些可解的 ，其只是矩阵 中的列向量的线性组合。这些 组成 的列空间。
记做

顾名思义，零空间就是 的时候，所有的解 所组成的空间。
问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言， 只有唯一 这个解。
记做

如何通过消元法求出所有的 解呢？
如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式 而言，必然存在 个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足 的解，自然也就是零空间了。

矩阵 的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做

注意哦，这里的矩阵 不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的 的解呢？

独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。

矩阵的基可以理解为一组满足条件 1.相互独立2.构成整个空间 的向量集合

空间的维数等于这个空间的基的数量

列空间
零空间
行空间
转置矩阵零空间

思考：各子空间的关系

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