Question

一元函数的导数及其应用是怎么样的？

Answer 1

一元函数的导数及其应用是：

由已知：f（a）=f（b）=0和f（c）〉0（c∈（a，b）），并且f（x）在〔a，b〕上连续。

所以在（a，c）必存在一点P，使得f'（P）〉0。

同理，在（b，c）必存在一点Q，使得f'（Q）〈0。

又f（x）的一阶导数在〔a，b〕上连续。

故必存在一点Z使得f''（Z）=f'（Q）-f（P）/（Q-P）〈0。

得证。

历史沿革：

函数是数学的一个基本概念，其概念的形成有较长的历史过程。在古代数学中函数依赖的思想没有明显地表达出来，而且不是独立的研究对象。函数概念的雏形在中世纪开始出现于学者的著作中。

但仅仅在17 世纪，首先在费马、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨的工作中，函数才作为一个独立的概念逐渐定形。函数一词最先出现在莱布尼茨的著作中，用以表示随曲线上的点变动的量。

1718 年，约翰第一，伯努利(J.Bernoulli I) 定义函数为“由变量与常量以任何适当方式构成的量”。

1755 年，欧拉在《微分学) 中给出更一般的定义，即函数都能用解析式表示，这也是当时数学家普遍的看法。

直到1807 年，傅里叶用三角级数表示更一般的函数后，函数才与其表达方式逐渐分离。

1837 年，狄利克雷用对应的观点给出了区间上的明确的函数定义，无须函数有解析表达式。狄利克雷的定义沿用至今，有重要的影响。

函数即映射的定义由戴德金(R.Dedekind) 于1887 年给出。

函数的概念极其广泛。例如，在公理化体系的概率定义中，概率实际上是一种定义在事件城上满足3 三条公设的函数。