Question

已知函数f（x）＝|lgx |，若0＜a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是

详细解答

Answer 1

解：
由于0<a<b,f(a)=f(b)
由y=|lgx|图像可知：
只有在a属于(0,1),b属于(1,正无穷)时成立
则：lga<0,lgb>0

由于：f(a)=f(b)
则：|lga|=|lgb|
-lga=lgb
lga+lgb=0
lg(ab)=0=lg1
则：ab=1
则b=1/a

则：a+2b=a+(2/a)
设f(a)=a+(2/a)
由于a属于(0,1)
则由f(a)图像可知:
f(a)在(0,1)上单减
则：f(a)min=f(1)=3
则：f(a)=a+(2/a)属于(3,正无穷)
即a＋2b的取值范围是(3,正无穷)

注：此题不可使用均值不等式
因为若a+2/a>=2根号[a(2/a)]=2根号2
那么必须满足a=2/a,
而此时a=根号2 不属于(0,1)

Answer 2

分析：由题意f（a）=f（b），求出ab的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
确定a+2b的取值范围．

解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=1/a，所以a+2b=a+(2/a).
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令f(a)=a+(2/a)，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
所以f（a）＞f（1）=1+(2/1)=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．

后记：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b=a+(2/a)＞2√2，从而做错，这也是命题者的用苦良心之处．

Answer 3

f(a)=f(b),0<a<b,所以可知lga<=0<=lgb的，则-lga=lgb,即b=1/a.则a+2b=a+2/a，
因lga<=0，所以0<a<=1,而a+2b=a+2/a在(0,1]是减函数，所以a+2b>=1+2=3
即a+2b>=3

Answer 4

解：因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或b=1/a，所以a+2b=a+(2/a).
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令f(a)=a+(2/a)，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，
所以f（a）＞f（1）=1+(2/1)=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．

Answer 5

f(a)=f(b),0<a<b,所以可知lga<0<lgb的，则-lga=lgb,即b=1/a.则a+2b=a+2/a>=2倍根号2