Question

导数的定义 一道题

第一个括号里是 2X 第二个是0 分母是X 求f'(0)=

希望能详细作答 比如为什么都同时乘以2。。。 谢谢了

然后乘以2之后怎么就变成2f'(0)=1/2

需要详细作答。。。 我看了半天导数定义没看明白。。

Answer 1

导数的定义是：
f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
或f'(x0) = lim(Δx→0) [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx，若f(x0)可导
要变为这样的形式，所以上下都要乘以2
即lim(x→0) [f(2x)-f(0)]/(2x)*2
由于f(2x)里有2x，所以分母的x都要变为2x
所以最后变为2lim(x→0) f[(2x)-f(0)]/(2x) = 2f'(0)
如果不是这个形式的话，就不是导数的定义公式。

Answer 2

f'(0)的定义是f'(0)=lim [f(t)-f(0)] / t，t->0
现在题目中把f(t)换成了f(2x)，所以分母上也应该把t换成2x，
因此需要分子分母同时乘以2，即2 lim [f(2x)-f(0)] / 2x=2f'(0)=1/2,
f'(0)=1/4