Question

在平面直角坐标系内，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C的坐标为（0,6），AB=15

tan∠CAB和tan∠CBA是关于X的方程X^2+mX+n=0的两根 （1）求m、n的值
（2）若∠ACB的角平分线交X轴于D，求直线CD的解析式
（3）在（2）的条件下，直线CD上是否存在点M，过M点作BC的平行线，交Y轴于N，使以M,N,B,C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵∠B+∠A=90°，∠B+∠BCO=90°，

∴∠A=∠BCO，，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB

∴OC/OA=OB/OC ，

∴OC2=OA•OB，

又∵OB=AB-OA，

∴6/OA=(15-OA)/6 ，解得OA=12或3，由∠CBA＞∠CAB

∴OA=12，OB=3．

∴tan∠CAB= 1/2，tan∠CBD=2，

∵tan∠CAB、tan∠CBA是关于x的方程x2+mx+n=0的两根，

∴1/4+1/2m +n=0①，4+2m+n=0②；

解①②组成的方程组，得：m=-2/5 ，n=1．

（2）过D点DE⊥AC，垂足为E，

∵∠ACB的角平分线交x轴于D，

∴∠DCE=∠EDC=45°，CE=DE；

∵OA=12，OB=3，

∴AC=6倍根号2 ；BC= 3倍根号5，令DE=CE=y，

则AD/AB= DE /BC，

∴AD=15y/3倍根号5 ①，又CD=根号2 y，AE=AC-CE=6倍根号5 -y，

∴AD= 根号下（AE2＋DE2）= 根号下（y2＋（6倍根号5－y）2）②，

由①②可得：y＝2倍根号5 ，

∴AD=10，

∴OD=2，

∴D点坐标为（-2，0），

设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，6），D（-2，0）代入解得：k=3，b=6，

∴y=3x+6．

（3）存在，M1（3，15），M2（-3，-3）

Answer 2

解：(1)由题意知：tanCAB+tanCBA=--m,
tanCAB*tanCBA=n.
即：CO/AO+CO/BO=--m,
CO/AO*CO/BO=n.
即：CO（AO+BO）/AO*BO=--m, CO^2/AO*BO=n,
因为 AO+BO=AB=15，AO*BO=CO^2=36,
所以 m=--5/2, n=1，
(2)因为 m=-1, n=5/2,
所以 方程x^2+mx+n=0的两根分别为：2，1/2。
所以 tanCAB=2, tanCBA=1/2. 或 tanCAB=1/2, tanCBA=2.
当 tanCAB=2, tanCBA=1/2时，
CO/AO=2，CO/BO=1/2，
因为 OC=6，所以 AO=3，BO=12，
设D（X,0),则AD=X--3，DB=12--X，
因为 AC=3根号5，BC=6根号5，
由角平分线比例线段定理可知：AD/BD=AC/BC
所以 （X--3）/（12--X）=1/2
解得：X=6，即：D点坐标为（6，0）
由直线的两点式可知：直线CD的解析式是 X+Y=6。
当tanCAB=1/2, tanCBA=2时，
可用同样方法求得：直线CD的解析式是