Question

f(x)=lnx-x,若x1不等于x2,但f(x1)=f(x2),求x1+x2大于2

Answer 1

先将关系理顺，使其具有可操作性。

详情如图所示:

最后一步求F(x1)在（0，1）上的

最小值大于零即可。

供参考，请笑纳。

Answer 2

f(x)=lnx-x，定义域x>0

f'(x)=1/x-1，f'(1)=0
f(x)在(0,1)上严格递增，在(1,+∞)上严格递减
根据题意，f(x1)=f(x2)，不妨设0<x1<1<x2
令F(x)=f(x)-f(2-x)=lnx-x-ln(2-x)+2-x=lnx-ln(2-x)-2x+2，定义域x∈(0,2)

F'(x)=1/x+1/(2-x)-2=(2-4x+2x^2)/x(2-x)=2[(x-1)^2]/x(2-x)>=0

所以F(x)在(0,2)上单调递增，且F(1)=0
当x∈(0,1)时，F(x)<F(1)=0，f(x)<f(2-x)
所以对于x1∈(0,1)，有f(x1)<f(2-x1)
即f(x2)<f(2-x1)
因为2-x1>1，x2>1，且f(x)在(1,+∞)上严格递减
所以x2>2-x1，x1+x2>2
证毕