Question

两道关于一元二次方程的奥数题 要过程

过程尽量详细些 谢谢 1 已知a b是方程x2（x的平方）-x-1=0的两个根 则a4（a的四次方）+3b的值为？ 2 有两个正整数a b 它们的平方和为585 而最大公约数与最小公倍数的和为87 则a+b的值为？

Answer 1

1.
a b是方程x²-x-1=0的两个根 那么 a²-a-1=0 a²=a+1
根据韦达定理，
又有 a+b=1 ab=-1
a^4+3b=(a+1)²+3b=a²+2a+1+3b=(a+1)+2a+1+3b=3(a+b)+2=3*1+2=5
2.
考虑到两个数的最小公倍数 是 最大公约数的 倍数
那么最大公约数与最小公倍数的和 也是最大公约数的倍数
而 87=3×29 29为质数
所以他们的最大公约数只能为1或3或29
若最大公约数为29，这两个数里最小的数也不小于29，而29²>585 不满足条件
最大公约数为1时，最小公倍数为86，而86=2×43 这两个数该为2和43 也不满足条件
最大公约数为3时，最小公倍数为84.
那么 a/3 与b/3 都是正整数，且最大公约数为1，互质，最小公倍数为84/3=28
他们的平方和为585/9=65 判断为一奇一偶
28=2×2×7 所以这两数为 4 和 7
从而 a 和b分别为12和21 a+b=33