Question

已知f(x)=x^2+2(a-2)x+4，

如果对一切x∈R,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1

判别式▲=4(a-2)^2 -16 =4a^2 -16a<0,则 0<a<4

2

注意，恒有f(0)=4

f(x)=x^2+2(a-2)x+4= x^2 -4x +4 + 2ax =(x-2)^2  + 2ax 

对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立，即 (x-2)^2  > -2ax

令c(x-2)^2,h(x)= -2ax,则当x∈[-3,1]时h(x)<g(x).

其中h(x)是过原点的直线。

作这两个函数的图像可知，

g(-3)=25；由h(-3)=6a<25得 a<25/6

由图像可知 -2a<0,则a>0

则实数a的取值范围是 0<a<25/6

Answer 2

f(x)=x^2+2(a-2)x+4=[x+(a-2)]^2+4-(a-2)^2=[x+(a-2)]^2+2a-a^2
如果对一切x∈R,f(x)>0恒成立
则2a-a^2＞0
a(a-2)＜0
0＜a＜2
如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立
则当x=-3时，9-6(a-2)+4＞0，a＜25/6
当x=1时，1+2(a-2)+4＞0，a＞-1/2
所以-1/2＜a＜25/6