Question

三角形三条角平分线交于一点吗

Answer 1

三角形三个角平分线相交于一点，是三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

内心性质

设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2，三角形内心为I：

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心与三角形位置关系：现有AI交BC于点D；BI交CA于点E；CI交AB于点F，三角形内接圆分别交BC，CA，AB于X，Y，Z。

（i）IX:IY:IZ=1:1:1

（ii）BD:DC=b:c;CE:EA=c:a;AF:FB=a:b

（iii）BX:XC=(p-b):(p-c);CY:YA=(p-c):(p-a);AZ:ZB=(p-a):(p-b)

（iv）AI:BI:CI=(1/sin(A/2)):(1/sin(B/2)):(1/sin(C/2))

（v）△IBC，△ICA，△IAB面积比为a:b:c

3、r=S/p。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。