泰勒公式 - 泰勒级数
泰勒公式，应用于 数学 、 物理 领域， 是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数 值的情况之下，泰勒公式可以 用这些导数值 做 系数 构建一个 多项式 来 近似 函数在这一点的 邻域中的值 。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式是将一个在x=x 0 处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x 0 ）的n次 多项式 来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x 0 的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶 导数 ，则对 闭区间 [a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x 0 处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项， 是（x-x 0 ）x n 的高阶无穷小。
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [3]
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
我们知道，根据 拉格朗日中值定理 导出的有限增量定理有：
于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
来近似地表示函数f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有：
至此，多项的各项系数都已求出，得：
以上就是函数的泰勒展开式。
接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到：
其中θ1在x和x0之间；
继续使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之间；
连续使用n+1次后得到：
其中θ在x和x 0 之间；
同时：
而：
进而：
综上可得：
一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把R n （x）写为R n 。
在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式—— 级数 来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的 导数 求得。
定义 ：如果 f(x)在点x=x 0 具有任意阶导数，则幂级数
在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数
注意：如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一 邻域 内 收敛 ，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶 导数 ，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。
f(x)设函数f(x)在x 0 的某个邻域
如果f(x)在区间
能展开成泰勒级数
下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数
指数函数 ：
自然对数 ：
几何级数 ：
正弦函数 ：
余弦函数 ：
正切函数:
参考博客
