Question

罗尔定理与实根的关系

Answer 1

罗尔定理与实根的关系：其个数关系为至多的关系。

因为根据题设的函数求出了它的原函数，而原函数满足中值定理，即可证明导函数（即题设中的函数）有零点，即证明了它有根。函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1、若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2、若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。