Question

初二数学题！

1 已知 △ABC中，BD，CE分别平分∠B和∠C，P是DE中点，过点P作BC,CA,AB垂线，垂足分别是L M N 求：PL=PM+PN
2

Answer 1

如图所示

过E作EG⊥AC于G，过D作DH⊥AB于H

在△DGE中 因为PM⊥AC

所以PM∥EG

又因为P为DE中点

所以PM为△DGE的中位线

所以PM∥且=1/2EG

同理在△EHD中

可得PN∥且=1/2DH

再作EI⊥BC交BC于I，DK⊥BC于K

因为CE为∠C平方线

EG⊥AC，EI⊥BC

所以EI=EG

同理BD为∠B平方线

DH⊥AB，DK⊥BC

所以DK=DH

因为EI⊥BC，DK⊥BC

所以EI∥DK

即四边形EIKD为直角梯形

又因为PL⊥BC

所以PL∥EI∥DK

因为P是DE中点

所以PL是直角梯形EIKD中位线

2PL=EI+DK

前面已得到EI=EG=2PM

DK=DH=2PN

所以2PL=EI+DK=2PM+2PN

即可得PL=PM+PN