Question

设等比数列{an}的前n项和Sn,首项a1=1,公比q=f(λ )=λ /(1+λ ),(λ ≠1,0)

1.证明：Sn=(1+λ)-λan
2.若数列{bn}满足b1=1/2,bn=f(b(n-1)),{n属于正整数，n》2},求数列{bn}的通项公式
3.若λ=1，记cn=an{(1/bn)-1},数列{cn}的前n项和为Tn，求证：当n》2时，2《Tn<4
(主要是第三题的后一个问题。前面的会做了。要详解哦！）

Answer 1

an=2^(-n+1)
bn=1/(n+1)
所以cn=2^(-n+1)*(n)
=n*2^(-n+1)
所以 Tn=1/1+2/2+3/4+4/8+...+n*2^(-n+1)
2Tn=2+2/1+3/2+4/4+...+n*2^(-n+2)
上下两式相减
Tn=2+1/1+1/2+1/4+...+1/2^(n-2)-n/2^(n-1)
=4-2^(-n+2)-n*2^(-n+1)
又2^(-n+2)+n*2^(-n+1)=(n+2)/2^(n-1)
令dn=(n+2)/2^(n-1)，则d2=2且dn/d(n-1)=(n+2)/[2(n+1)]
当n>=2时(n+2)/[2(n+1)]<1
所以dn递减
所以dn最大值为d2=2
所以Tn最小值为4-2=2
且Tn<4
所以结论成立