Question

如果关于x的方程|x|/(x+2)=kx^2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围

Answer 1

要求x≠-2
方程化为|x|=kx²(x+2)
显然x=0满足上述方程，是方程的一个根
若x≠0
则方程两边同除以|x|有1=k|x|(x+2)
若x>0，则方程变为1=kx(x+2),即kx²+2kx-1=0 (1)
若x<0，则方程变为1=-kx(x+2),即kx²+2kx+1=0 (2)
若k=0，(1)(2)均无解。显然x=0不是(1)(2)的解
若方程有四个不同的实数根，之前已得到x=0是原方程的根，则要求方程(1)(2)有3个根
对(1)若判别式△=4k²+4k≥0，则k≤-1或k≥0
对(2)若判别式△=4k²-4k≥0，则k≤0或k≥1
前已分析k≠0
若k≤-1，则(1)有两个不相等实根，两根之积为-1/k>0，两根之和为-2,说明两根均为负值，但(1)方程前提条件是x>0，因此k<-1时方程(1)在x<0前提下无解，原方程不可能有4个不同的实数根。
若-1<k<0，（1）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若0<k<1，（2）方程无根，原方程不可能有4个不同的实数根。
若k≥1，方程(1)有两个不相等实根，两根之积为-1/k<0，两根之和为-2，说明有一个正根一个负根，在x>0前提下，只有一个正根，则要求(2)有两个不相等的负根。则k≠1,要求k>1
对于(2)此时判别式△>0，两根之和为-2, 两根之积=1/k>0，说明(2)有两个不相等的负根，之前要求x≠-2，对(2)，若x=-2，则4k-4k+1=0，显然x=-2不是方程的根。
综上所述，要求k>1

Answer 2

|x|/(x+2)=kx^2
±1/x（x+2）=k
k(x²+2x)=±1
k(x²+2x)±1=0
（音deta）大于0时有方程两根，而系数±则可有4根
4k²±4k＞0
4k²＞±4k
所以k>±1