Question

数学基本不等式的问题~

已知abc∈R+,a+b+c=1,求证不等式根号下（3a+2）+根号下（3b+2）+根号下（3c+2）小于等于6

这两个问题 我看到过两种不同的做法 一个是用均值不等式得到小于等于六 但是好像取不到等号啊？按均值不等式的话应该是a=b=c=1/3的时候取等号，但是这个时候这个式子不等于6啊...
第二种是用柯西不等式求的最大值，得到最大值为3倍根号3 ，比六还要小

怎么解释？ 是均值不等式会导致这个式子放大过度吗？那是不是柯西不等式解题就不会放缩过度？做这种题的时候我要怎么判断是否放缩过度呢？

另外 还有

设正数abc满足a+b+c=1,求证：
[（1/a）-1]* [（1/b）-1]* [（1/c）-1]≥8
给的答案是
(1-a) = b + c ≥2√（bc）
(1-b) = a + c ≥2√（ac)
(1-c) = a + b ≥2√（ab)

三式相乘得：（1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc
所以[(1-a)/a][(1-b)/b][(1-c)/c] ≥8
即[（1/a）-1]* [（1/b）-1]* [（1/c）-1]≥8

在前三个式子中用了基本不等式，但是不是说基本不等式的使用条件要“一正二定三相等”吗？这里根号下的 不管是ab 还是bc 还是ac 都是不定的呀...为什么还可以用基本不等式？

谢谢~~~~

Answer 1

【【注：柯西不等式也属于基本不等式，用柯西不等式证明该题比较简单。
有关柯西不等式内容，可以百度一下。】】
证明：
∵a+b+c=1
∴3(a+b+c)+6=9
即有(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=9
由柯西不等式可得：
27=3×9
=（1²+1²+1²)×[(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)]
≧[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]²
∴√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≦3√3
等号仅当a=b=c=1/3时取得,
当然有√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)＜6

追问

那在 (1-a) = b + c ≥2√（bc） 这个式子里，bc不是定值，为什么还可以用基本不等式？基本不等式不是要一正二定三相等么？

追答

什么时候都可以用基本不等式.
但是,在求取值范围时,就要"一正,二定,三相等"
关于这一点,可以参考:龙门专题"

Answer 2

第一问，最大值是3√3，应该是放大了才能到6。
第二问，由正数abc，ab，bc，ac，1-a，1-b，1-c都市正数。不等式两侧同正能进行乘法，符号不变。不等式两侧都为负数，奇数个不等式相乘符号不变，偶数个相乘改变。不等式两侧一正一负不可相乘。（以上都是指不等号大侧相乘，小侧相乘）

Answer 3

这个问题有些难度，楼主很有探索精神！