Question

极坐标面积能用二重积分求么

Answer 1

【高数笔记】二重积分的计算（极坐标系）

奔跑的小蜗牛RLS
热爱编程、数学和物理的大学生一枚
来自专栏高数笔记
当二重积分的积分区域与圆有关时，使用直角坐标系来计算并不方便，但是我们可以把它转换为极坐标方程来处理。

我们先来看一下极坐标系和直角坐标系之间的转换关系： .其实这就是很简单的三角函数关系。

这样，我们只需要把被积函数  替换为  即可。不过，替换过后函数的自变量也改变了，那么积分的面积元素也自然要跟着变一下。

下面以圆为例讲解面积元素的计算方法。仿照直角坐标系下面积元素的取法，我们在  处取一个圆心角为  ，宽度为  的小扇环作为面积元素。为了方便计算，我们不妨把这个小扇环看作一个矩形（当然也可以用大扇形面积-小扇形面积的方式进行计算，忽略掉高阶无穷小后的结果是一样的），那么它的长宽分别为  （弧长）和  ，那么面积元素  .

面积元素的计算
现在我们有了被积函数的极坐标表达，也有了对应的面积元素，只需要想办法“遍历”所有面积元素并且与被积函数相乘并求和，也就是把二重积分转化为二次积分即可。很显然，如果我们想要遍历整个被积区域，我们有两种选择，一种是“先θ后ρ”，另一种“是先ρ后θ”