Question

不动点法解数列通项公式问题

Answer 1

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。（相关网站推荐：中国知网） 

推导过程： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

令x=(ax+b)/(cx+d)  ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。

令此方程的两个根为x1，x2， 

若x1=x2 ，

则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，

其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 

扩展资料：

常见类型

累加法

递推公式为

 

，且f(n)可以求和

例：数列{an}，满足a1=1/2，an+1 = an + 1/(4n2-1)，求{an}通项公式

解：an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2

∴an = a1 +（1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1)）

∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=

累乘法

递推公式为

 

且f(n)可求积

例：数列{an }满足

 

，且a1=4，求an

解：

an = 2n(n+1)

参考资料来源：百度百科--不动点法

参考资料来源：百度百科--数列通项公式