已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x^2)
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设f(x)=ax²+bx+c
因为f(0)=1,所以c=1
所以f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b
因为f(x+1)-f(x)=2x
所以2a=2,a+b=0
所以a=1,b=-1
所以f(x)=x²-x+1
所以f(x²)=x^4-x²+1
因为f(0)=1,所以c=1
所以f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b
因为f(x+1)-f(x)=2x
所以2a=2,a+b=0
所以a=1,b=-1
所以f(x)=x²-x+1
所以f(x²)=x^4-x²+1
更多追问追答
追问
为什么f(x+1)-f(x)=2x,2a会等于2,为什么a+b会等于0?a+b=0,我以为是把x=0带到2ax+a+b里算得才会a+b=0,那2a=2是怎么得来的?
追答
因为f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b=2x
这是对任意x都成立的,所以2a=2,a+b=0
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f(x+1)-f(x)=2x
f(0+1)-f(0)=0 即:f(1)=f(0)=1
f(1+1)-f(1)=2 即:f(2)=f(1)+2=3
设此二次函数为f(x)=ax^2+bx+c 则有:
c=1
a+b+c=1
4a+2b+c=3 解得:a=1,b=-1,c=1于是有:
f(x)=x^2-x+1 则:
f(x^2)=x^4-x^2+1
f(0+1)-f(0)=0 即:f(1)=f(0)=1
f(1+1)-f(1)=2 即:f(2)=f(1)+2=3
设此二次函数为f(x)=ax^2+bx+c 则有:
c=1
a+b+c=1
4a+2b+c=3 解得:a=1,b=-1,c=1于是有:
f(x)=x^2-x+1 则:
f(x^2)=x^4-x^2+1
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