Question

已知二次函数f(x)满足f(0)=1，f(x+1)-f(x)=2x,求f(x^2)

Answer 1

设f(x)=ax²+bx+c
因为f(0)=1，所以c=1
所以f(x)=ax²+bx+1
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+1
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b
因为f(x+1)-f(x)=2x
所以2a=2，a+b=0
所以a=1，b=-1
所以f(x)=x²-x+1
所以f(x²)=x^4-x²+1

追问

为什么f(x+1)-f(x)=2x,2a会等于2，为什么a+b会等于0？a+b=0,我以为是把x=0带到2ax+a+b里算得才会a+b=0，那2a=2是怎么得来的？

追答

因为f(x+1)-f(x)=a(x+1)²+b(x+1)-ax²-bx=2ax+a+b=2x
这是对任意x都成立的，所以2a=2，a+b=0

追问

没懂，对任何x都成立的意思，是说当x等于任何数带进2ax+a+b都会等于2x吗？

追答

对任何x都成立的意思，是说当x等于任何数带进2ax+a+b都要等于2x

Answer 2

f(x+1)-f(x)=2x
f(0+1)-f(0)=0 即：f(1)=f(0)=1
f(1+1)-f(1)=2 即：f(2)=f(1)+2=3
设此二次函数为f(x)=ax^2+bx+c 则有：
c=1
a+b+c=1
4a+2b+c=3 解得：a=1,b=-1,c=1于是有：
f(x)=x^2-x+1 则：
f(x^2)=x^4-x^2+1

Answer 3

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