Question

已知正数ab和正数xy满足a+b=10，a/x + b/y=1,x+y的最小值是18，求a,b的值

Answer 1

令x+y=k
a/x+b/y=1
两式相乘，
得a+b+(ay)/x+(bx)/y=k
k=a+b+(bx²+ay²)/(xy)
≥a+b+2√(ab)
=10+2√(ab)
=18ab
=16 ,
所以a=2,b=8或者a=8,b=2

追问

a+b+(bx²+ay²)/(xy)≥a+b+2√(ab)啥意思

追答

利用公式a²+b²≥2ab
所以bx²+ay²≥2xy√(ab)
所以(bx²+ay²)/(xy)≥2√(ab)
a+b+(bx²+ay²)/(xy)≥a+b+2√(ab)

Answer 2

(x+y)=(x+y)*(a/x +b/y)》a+b+2√ab=10+2√(ab)
因为x+y最小值为18 所以
2√ab=8 即ab=16 联立a+b=10解得 a=2 b=8 或者a=8 b=2

追问

a+b+(bx²+ay²)/(xy)≥a+b+2√(ab)啥意思

追答

因为a/x + b/y=1
所以(x+y)=(x+y)*(a/x +b/y) 把式子展开=a+b+(ay/x +bx/y)
对ay/x +bx/y利用均值不等式ay/x +bx/y》2√(ab) 原理是 a+b》2√(ab)
希望对你有帮助